(1)∵α=60°,BC=10, ∴sinα=, 即sin60°==, 解得CE=5;
(2)①存在k=3,使得∠EFD=k∠AEF. 理由如下:连接CF并延长交BA的延长线于点G, ∵F为AD的中点, ∴AF=FD, 在平行四边形ABCD中,AB∥CD, ∴∠G=∠DCF, 在△AFG和△DFC中, | ∠G=∠DCF | ∠AFG=∠DFC(对顶角相等) | AF=FD |
| | , ∴△AFG≌△DFC(AAS), ∴CF=GF,AG=CD, ∵CE⊥AB, ∴EF=GF(直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半), ∴∠AEF=∠G, ∵AB=5,BC=10,点F是AD的中点, ∴AG=5,AF=AD=BC=5, ∴AG=AF, ∴∠AFG=∠G, 在△EFG中,∠EFC=∠AEF+∠G=2∠AEF, 又∵∠CFD=∠AFG(对顶角相等), ∴∠CFD=∠AEF, ∴∠EFD=∠EFC+∠CFD=2∠AEF+∠AEF=3∠AEF, 因此,存在正整数k=3,使得∠EFD=3∠AEF;
②设BE=x,∵AG=CD=AB=5, ∴EG=AE+AG=5-x+5=10-x, 在Rt△BCE中,CE2=BC2-BE2=100-x2, 在Rt△CEG中,CG2=EG2+CE2=(10-x)2+100-x2=200-20x, ∵由①知CF=GF, ∴CF2=(CG)2=CG2=(200-20x)=50-5x, ∴CE2-CF2=100-x2-50+5x=-x2+5x+50=-(x-)2+50+, ∴当x=,即点E是AB的中点时,CE2-CF2取最大值, 此时,EG=10-x=10-=, CE===, 所以,tan∠DCF=tan∠G===. |