已知在□ABCD中,AE⊥BC于E,DF平分∠ADC交线段AE于F.(1)如图1,若AE=AD,∠ADC=60°,请直接写出线段CD与AF+BE之间所满足等量关

已知在□ABCD中,AE⊥BC于E,DF平分∠ADC交线段AE于F.(1)如图1,若AE=AD,∠ADC=60°,请直接写出线段CD与AF+BE之间所满足等量关

题型:不详难度:来源:
已知在□ABCD中,AE⊥BC于E,DF平分∠ADC交线段AE于F.
(1)如图1,若AE=AD,∠ADC=60°,请直接写出线段CD与AF+BE之间所满足等量关系;
(2)如图2,若AE=AD,你在(1)中得到的结论是否仍然成立,若成立,对你的结论加以证明,若不成立,请说明理由;
(3)如图3,若AE:AD=a:b,试探究线段CD、AF、BE之间所满足的等量关系,请直接写出你的结论.
答案
(1)CD=AF+BE,
理由是:延长EA到G,使得AG=BE,连接DG,
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB=CD,ABCD,AD=BC,
∵AE⊥BC,
∴∠AEB=∠AEC=90°,
∴∠AEB=∠DAE=90°,
∴∠DAG=90°,
在△ABE和△DGA中





AE=AD
∠BEA=∠GAD
BE=AG

∴△ABE≌△DGA,
∴DG=AB=CD,∠1=∠2,
∵平行四边形ABCD,AE⊥BC,
∴∠B=∠ADC=60°=∠G,AE⊥AD,
∴∠1=∠2=30°,
∵DF平分∠ADC,
∴∠3=∠4=30°,
∴∠AFD=60°=∠GDF,
∴DG=GF=AF+AG,
∴CD=AB=DG=AF+BE,
即CD=AF+BE.

(2)(1)中的结论仍然成立.
证明:延长EA到G,使得AG=BE,连接DG,
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB=CD,ABCD,AD=BC,
∵AE⊥BC于点E,
∴∠AEB=∠AEC=90°,
∴∠AEB=∠DAG=90°,
∴∠DAG=90°,
在△ABE和△DGA中





BE=GA
∠GAD=∠BEA
AE=AD

∴△ABE≌△DGA,
∴∠1=∠2,DG=AB,∠B=∠G,
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴∠B=∠ADC,
∵∠B+∠1=∠ADC+∠2=90°,∠3=∠4,
∴∠GDF=90°-∠4,∠GFD=90°-∠3,
∴∠GDF=∠GFD,
∴GF=GD=AB=CD,
∵GF=AF+AG=AF+BE,
∴CD=AF+BE.

(3)bCD=aAF+bBE,
理由是:延长EA到G,使得
BE
AG
=
a
b
,连接DG,
即AG=
b
a
BE,
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB=CD,ABCD,AD=BC,
∵AE⊥BC于点E,
∴∠AEB=∠AEC=90°,
∴∠AEB=∠DAG=90°,
∴∠DAG=90°,
即∠AEB=∠GAD=90°,
AE
AD
=
BE
AG
=
a
b

∴△ABE△DGA,
∴∠1=∠2,
AB
DG
=
a
b

∴∠GFD=90°-∠3,
∵DF平分∠ADC,
∴∠3=∠4,
∴∠GDF=∠2+∠3=∠1+∠4=180°-∠FAD-∠3=90°-∠3.
∴∠GDF=∠GFD,
∴DG=GF,
AB
DG
=
a
b
,AB=CD(已证),
∴bCD=aDG=a(
b
a
BE+AF),
即bCD=aAF+bBE.
举一反三
如图,在▱ABCD中,EFBD,分别交BC、CD于点P、Q,分别交AB、AD的延长线于点E、F,BE=BP.
(1)若∠E=70度,求∠F的度数.
(2)求证:△ABD是等腰三角形.
题型:不详难度:| 查看答案
如图所示,点E是▱ABCD的对角线AC上任意一点,则S△BEC=S△DEC是否正确?请说明理由.
题型:不详难度:| 查看答案
如图,在▱ABCD中,EF过对角线的交点O,交BC于E,交AD于F.若AD=9,AB=7,OF=3.那么四边形ABEF的周长是______.
题型:不详难度:| 查看答案
如图,在▱ABCD中,CE⊥AB,垂足为E,若∠A=120°,则∠BCE=______.
题型:不详难度:| 查看答案
如图,在▱ABCD中,DE⊥AB,点E在AB上,DE=AE=EB=a.
求:▱ABCD的周长.
题型:不详难度:| 查看答案
最新试题
热门考点

超级试练试题库

© 2017-2019 超级试练试题库,All Rights Reserved.