如图,在□ABDC中,分别取AC、BD的中点E和F,连接BE、CF,过点A作AP∥BC,交DC的延长线于点P.(1)求证:△ABE≌△DCF;(2)当∠P满足什
题型:不详难度:来源:
如图,在□ABDC中,分别取AC、BD的中点E和F,连接BE、CF,过点A作AP∥BC,交DC的延长线于点P.
(1)求证:△ABE≌△DCF; (2)当∠P满足什么条件时,四边形BECF是菱形?证明你的结论. |
答案
见解析 |
解析
试题分析:(1)因为ABCD是平行四边形,所以对角相等,对边相等。而E、F又是对边中点,利用“SAS” 即可证明△ABE≌△DCF (2)∠P=90°时,四边形BECF是菱形。 要使四边形BECF是菱形,只要邻边相等即可,也就是说只要满足BE=EC即可,假设BE=EC,由于AE=EC,所以有AE=BE,BE=CE,所以∠ABE=∠BAE,∠EBC=∠ECB,而∠ABE+∠BAE+∠EBC+∠ ECB=180°(△ABC内角和).所以2∠ABE+2∠EBC=180°,所以∠ABE+∠EBC=90°,即∠ABC=90°,由于AB//CP,AP//BC,所以四边形BAPC是平行四边形,所以∠P=∠ABC=90º. 试题解析: (1)证明:∵ABCD是平行四边形, ∴∠A=∠D,AB=CD,BD=AC ∵E、F分别为AC,BD中点 ∴AE=FD 在△ABE和△DCF中, AB=CD,∠A=∠D,AE=FD ∴△ABE≌△DCF (2)解:问题可知使四边形BECF是菱形, ∴BE=EC 又∵AE=EC ∴∠EBC=∠ECB BE=AE ∴∠A=∠ABE ∵∠A+∠ABE+∠EBC+∠ECB=180º ∴2∠ABE+2∠EBC=180º ∴∠ABE+∠EBC=90º ∴∠ABC=90º 又∵AB//CP,AP//BC ∴四边形BAPC是平行四边形 ∴∠P=∠ABC=90º 即∠P=90º时,四边形BECF是菱形 |
举一反三
如图,Rt△PQR中,∠PQR=90°,当PQ=RQ时,.根据这个结论,解决下面问题:在梯形ABCD中,∠B=45°,AD//BC,AB=5,AD=4,BC=,P是线段BC上一动点,点P从点B出发,以每秒个单位的速度向C点运动.
(1)当BP= 时,四边形APCD为平行四边形; (2)求四边形ABCD的面积; (3)设P点在线段BC上的运动时间为t秒 ,当P运动时,△APB可能是等腰三角形吗?如能,请求出t的值;如不能,请说明理由. |
如图,在矩形纸片ABCD中,AB=8,BC=6,点E在AB上,将△DAE沿DE折叠,使点A落在对角线BD上的点A′处,则AE的长为___________ .
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问题1:如图1,在四边形ABCD中,AD∥BC,∠A=∠D,AB=BC=CD,点M,N分别在AD,CD上,若∠MBN=∠ABC,试探究线段MN,AM,CN有怎样的数量关系?请直接写出你的猜想,不用证明; 问题2:如图2,在四边形ABCD中,AB=BC,∠ABC+∠ADC=180°,点M,N分别在DA,CD的延长线上,若∠MBN=∠ABC仍然成立,请你进一步探究线段MN,AM,CN又有怎样的数量关系?写出你的猜想,并给予证明.
解:(1)猜想:____________________ (2)猜想:____________________ 证明: |
如图,在菱形ABCD中,∠BAD=80°,AB的垂直平分线交对角线AC于点F,垂足为E,连接DF,则∠CDF等于( )
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如图,O是矩形ABCD的对角线AC的中点,M是AD的中点.若AB=5,AD=12,则四边形ABOM的周长为_________.
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