试题分析:(1)证明线段相等的常用方法是三角形的全等,直观上判 断BD=CF,而由题目条件,旋转过程中出 现了两个三角形△BAD和△CAF,并且包含了要证明相等的两条线段BD和CF,∵△ABC是等腰直角三角形,∴AB=AC,∵四边形ADEF是正方形,∴AD=AF,∠DAF=90°,只差夹角相等,在Rt△BAC中,∠BAD+∠DAC=90°,∠CAF+∠DAC="90°," ∴∠BAD="∠CAF," ∴△BAD≌△CAF, BD=CF.(2)①要证明BD⊥CF,只要证明∠BGC=90°,即∠GBC+∠BCG=∠GBC+∠ACF+∠ACB=90°,在Rt△BAC中,∠ABC+ ∠ACB=∠ABG+∠GBC+∠BCA=90°,有(1)知,∠ACF=∠ABG,所以∠GBC+∠ACF+∠ACB=∠GBC+ ∠ABG +∠ACB =90°,所以BD⊥CF.②求线段的方法一般是三角形的全等和勾股定理,题目中没有和FG直接相关的线段,而CG从已知条件中又无法求出,所以需要作辅助线,连接FD,交AC于点N, 在正方形ADEF中,AD=DE= , AN="1," CN=3,由勾股定理CF= ,设FG=x,CG= ,在Rt△FGD中,∵FD=2,∴GD= ,∵在Rt△BCG中, , ∴ ,解之得FG= . 试题解析:②解法一: 如图,连接FD,交AC于点N,
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191029/20191029024138-71625.jpg) ∵在正方形ADEF中,AD=DE= , ∴AN=FN= AE=1,FD=2, ∵在等腰直角△ABC 中,AB=4,∴CN=AC-AN=3, ∴在Rt△FCN中, , ∵△BAD≌△CAF(已证),∴BD=CF= , 设FG= ,在Rt△FGD中,∵FD=2,∴GD= , ∵CF= ,∴CG= , ∵在等腰直角△ABC 中,AB=AC=4, ∴ , ∵在Rt△BCG中, , ∴ , 整理,得 , 解之,得 , (不合题意,故舍去) ∴FG= . 解法二: 如图,连接FD,交AC于点N;连接CD,
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191029/20191029024140-33325.jpg) 同解法一,可得:DG= ,CG= , 易证△ACD≌△ABD(SAS),可得CD=BD= , 在Rt△CGD中, ,即![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191029/20191029024140-79093.png) 解之,得 ,故FG= . |