如图1,△ABC是等腰直角三角形,∠BAC=90°,AB=AC,四边形ADEF是正方形,D、F分别在AB、AC边上,此时BD=CF,BD⊥CF成立.(1)当正方

如图1,△ABC是等腰直角三角形,∠BAC=90°,AB=AC,四边形ADEF是正方形,D、F分别在AB、AC边上,此时BD=CF,BD⊥CF成立.(1)当正方

题型:不详难度:来源:
如图1,△ABC是等腰直角三角形,∠BAC=90°,AB=AC,四边形ADEF是正方形,D、F分别在AB、AC边上,此时BD=CF,BD⊥CF成立.

(1)当正方形ADEF绕点A逆时针旋转θ(0°<θ<90°)时,如图2,BD=CF成立吗?若成立,请证明;若不成立,请说明理由.

(2)当正方形ADEF绕点A逆时针旋转45°时,如图3,延长BD交CF于点G.

①求证:BD⊥CF;
②当AB=4,AD=时,求线段FG的长.
答案
(1) BD=CF成立,证明见解析;(2)①证明见解析;②FG=.
解析

试题分析:(1)证明线段相等的常用方法是三角形的全等,直观上判 断BD=CF,而由题目条件,旋转过程中出
现了两个三角形△BAD和△CAF,并且包含了要证明相等的两条线段BD和CF,∵△ABC是等腰直角三角形,∴AB=AC,∵四边形ADEF是正方形,∴AD=AF,∠DAF=90°,只差夹角相等,在Rt△BAC中,∠BAD+∠DAC=90°,∠CAF+∠DAC="90°," ∴∠BAD="∠CAF," ∴△BAD≌△CAF, BD=CF.(2)①要证明BD⊥CF,只要证明∠BGC=90°,即∠GBC+∠BCG=∠GBC+∠ACF+∠ACB=90°,在Rt△BAC中,∠ABC+
∠ACB=∠ABG+∠GBC+∠BCA=90°,有(1)知,∠ACF=∠ABG,所以∠GBC+∠ACF+∠ACB=∠GBC+
∠ABG +∠ACB =90°,所以BD⊥CF.②求线段的方法一般是三角形的全等和勾股定理,题目中没有和FG直接相关的线段,而CG从已知条件中又无法求出,所以需要作辅助线,连接FD,交AC于点N, 在正方形ADEF中,AD=DE=, AN="1," CN=3,由勾股定理CF=,设FG=x,CG=,在Rt△FGD中,∵FD=2,∴GD=,∵在Rt△BCG中,
,解之得FG=.
试题解析:②解法一:
如图,连接FD,交AC于点N,

∵在正方形ADEF中,AD=DE=,
∴AN=FN=AE=1,FD=2,
∵在等腰直角△ABC 中,AB=4,∴CN=AC-AN=3,
∴在Rt△FCN中,,
∵△BAD≌△CAF(已证),∴BD=CF=,
设FG=,在Rt△FGD中,∵FD=2,∴GD=,
∵CF=,∴CG=,
∵在等腰直角△ABC 中,AB=AC=4,
,
∵在Rt△BCG中,,
 , 
整理,得,
解之,得(不合题意,故舍去)
∴FG=.
解法二:
如图,连接FD,交AC于点N;连接CD,

同解法一,可得:DG=,CG=
易证△ACD≌△ABD(SAS),可得CD=BD=,  
在Rt△CGD中,,即
解之,得,故FG= .
举一反三
顺次连结四边形ABCD各边中点得到的四边形一定是 (       )
A.矩形B.正方形C.平行四边形D.菱形

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如图,将一张长为70cm的矩形纸片ABCD沿对称轴EF折叠后得到如图所示的形状,若折叠后AB与CD的距离为60cm,则重叠部分四边形较长边的长度为(    )
A.20 cmB.15 cmC.10 cmD.cm

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如图,已知直线,相邻两条平行直线间的距离都是2,如果正方形ABCD的四个顶点分别在四条直线上,则正方形边长的值为        

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已知:如图,E、F是平行四边形ABCD的对角线AC上的两点,AE=CF.

求证:(1)△ADF≌△CBE;(2)EB∥DF.
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课本中把长与宽之比为的矩形纸片称为标准纸.请解决下列问题:
(1)将一张标准纸ABCD(AB<BC)对开,如图1所示,所得的矩形纸片ABEF是标准纸.请给予证明;

(2)在一次综合实践课上,小明尝试着将矩形纸片ABCD(AB<BC)进行如下操作:
第一步:沿过A点的直线折叠,使B点落在AD边上点F处,折痕为AE(如图2甲);
第二步:沿过D点的直线折叠,使C点落在AD边上点N处,折痕为DG(如图2乙) .此时E点恰好落在AE边上的点M处;
第三步:沿直线DM折叠(如图2丙),此时点G恰好与N点重合.

请你研究,矩形纸片ABCD是否是一张标准纸?请说明理由.
(3)不难发现,将一张标准纸如图3一次又一次对开后,所得的矩形纸片都是标准纸.现有一张标准纸ABCD,AB=1,BC=,问第5次对开后所得标准纸的周长是多少?探索并直接写出第2002次对开后所得标准纸的周长.

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