通过类比联想、引申拓展研究典型题目,可达到解一题知一类的目的。下面是一个案例,请补充完整。原题:如图1,点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上,∠EAF=
题型:不详难度:来源:
通过类比联想、引申拓展研究典型题目,可达到解一题知一类的目的。下面是一个案例,请补充完整。
原题:如图1,点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上,∠EAF=45°,连接EF,则EF=BE+DF,试说明理由。 (1)思路梳理 ∵AB=CD, ∴把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG,可使AB与AD重合。 ∵∠ADC=∠B=90°, ∴∠FDG=180°,点F、D、G共线。 根据 ,易证△AFG≌ ,得EF=BE+DF。 (2)类比引申 如图2,四边形ABCD中,AB=AD,∠BAD=90°,点E、F分别在边BC、CD上,∠EAF=45°。若∠B、∠D都不是直角,则当∠B与∠D满足等量关系 时,仍有EF=BE+DF。 (3)联想拓展 如图3,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,点D、E均在边BC上,且∠DAE=45°。猜想BD、DE、EC应满足的等量关系,并写出推理过程。 |
答案
解:(1)SAS;△AFE。 (2)∠B+∠D=180°。 (3)BD2+EC2=DE2。理由见解析 |
解析
试题分析:(1)在△AFG和△AEF中,,∴△AFG≌△AEF(SAS)。 (2)如图,把△ABE绕A点逆时针旋转90°至△ADG,可使AB与AD重合,连接FG,
同(1)△AEF≌△AGF(SAS)得EF=GF; 由旋转的性质,得BE=DG,∠B=∠ADG, 若EF=BE+DF,则GF=DG+DF。 ∴点F、D、G共线。∴∠ADF+∠ADG180°,即∠B+∠D=180°。 (3)根把△ABD绕A点逆时针旋转90°至△ACG,可使AB与AC重合,根据旋转的性质,全等三角形的性质和勾股定理,可得到BD2+EC2=DE2。 BD2+EC2=DE2。推理过程如下: ∵AB=AC, ∴把△ABD绕A点逆时针旋转90°至△ACG,可使AB与AC重合(如图)。
∵△ABC中,∠BAC=90°, ∴∠ACB+∠ACG=∠ACB+∠B=90°,即∠ECG=90°。 ∴EC2+CG2=EG2。 在△AEG与△AED中, ∵根据旋转的性质,∠CAG=∠BAD。 ∴∠EAG=∠EAC+∠CAG=∠EAC+∠BAD=90°-∠EAD=45°=∠EAD。 又∵根据旋转的性质,AD=AG,AE=AE, ∴△AEG≌△AED(SAS)。∴DE=EG。 又∵CG=BD,∴BD2+EC2=DE2。 |
举一反三
如图,已知BE∥DF,∠ADF=∠CBE,AF=CE,求证:四边形DEBF是平行四边形.
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如图,P为正方形ABCD的边AD上的一个动点,AE⊥BP,CF⊥BP,垂足分别为点E、F,已知AD=4.
(1)试说明AE2+CF2的值是一个常数; (2)过点P作PM∥FC交CD于点M,点P在何位置时线段DM最长,并求出此时DM的值. |
如图,在菱形ABCD中,AB=3,∠ABC=60°,则对角线AC=【 】
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下列命题中,正确的是【 】A.平行四边形的对角线相等 | B.矩形的对角线互相垂直 | C.菱形的对角线互相垂直且平分 | D.梯形的对角线相等 |
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如图所示,将△ABC绕AC的中点O顺时针旋转180°得到△CDA,添加一个条件 ,使四边形ABCD为矩形.
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