在正方形ABCD中,过点A引射线AH,交边CD于点H(点H与点D不重合).通过翻折,使点B落在射线AH上的点G处,折痕AE交BC于E,延长EG交CD于F.【感知

在正方形ABCD中,过点A引射线AH,交边CD于点H(点H与点D不重合).通过翻折,使点B落在射线AH上的点G处,折痕AE交BC于E,延长EG交CD于F.【感知

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在正方形ABCD中,过点A引射线AH,交边CD于点H(点H与点D不重合).通过翻折,使点B落在射线AH上的点G处,折痕AE交BC于E,延长EG交CD于F.
【感知】如图1,当点H与点C重合时,可得FG=FD.

【探究】如图2,当点H为边CD上任意一点时,猜想FG与FD的数量关系,并说明理由.

【应用】在图2中,当AB=5,BE=3时,利用探究结论,求FG的长.
答案
【探究】FG=FD;【应用】.
解析

试题分析:【探究】连接AF,根据图形猜想FD=FG,由折叠的性质可得AB=AG=AD,再结合AF为△AGF和△ADF的公共边,从而证明△AGF≌△ADF,从而得出结论.
【应用】设FG=x,则FC=5-x,FE=3+x,在RT△ECF中利用勾股定理可求出x的值,进而可得出答案.
【探究】猜想FD=FG.
连接AF,

由折叠的性质可得AB=AG=AD,
在Rt△AGF和Rt△ADF中,

∴△AGF≌△ADF.
∴FG=FD;
【应用】设GF=,则CF=5-,则EF=+3
在△ECF中由勾股定理得,,解得
∴FG的长为
点评:,掌握△AGF≌△ADF始终不变是解答本题的关键,另外在进行结论的应用时,得出Rt△EFC的各边后运用勾股定理进行求解时,要细心避免出错.
举一反三
如图,梯形ABCD中,AD∥BC,∠BAD=90°,CE⊥AD于点E,AD=8㎝,BC=4㎝,AB=5㎝.从初始时刻开始,动点P沿着P、Q分别从点A,B同时出发,运动速度均为1㎝/s,动点P沿A—B—C—E的方向运动,到点E停止;动点Q沿B—C—E—D的方向运动,到点D停止,设运动时间为s,△PAQ的面积为2.(这里我们把线段的面积看作是0)

解答下列问题
(1)当=2s时,=      2,当s时,=       2
(2)当5≤≤14时,求之间的函数关系式;
(3)当动点P在线段BC上运动时,求出梯形ABCD的值;
(4)直接写出整个运动过程中,使PQ与四边形ABCE的对角线平行的所有的值.
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如图,在矩形ABCD中,AB=9,BC=12,点E是BC中点,点F是边CD上的任意一点,当△AEF的周长最小时,则DF的长为(    )
A.4B.6C.8D.9

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如图1,矩形MNPQ中,点E,F,G,H分别在NP,PQ,QM,MN上,若∠1=∠2=∠3=∠4,则称四边形EFGH为矩形MNPQ的反射四边形.图2,图3,图4中,四边形ABCD为矩形,且AB=4,BC=8.


(1)理解与作图:在图2,图3中,点E,F分别在BC,CD边上,试利用正方形网格在图上作出矩形ABCD的反射四边形EFGH.
(2)计算与猜想:求图2,图3中反射四边形EFGH的周长,并猜想矩形ABCD的反射四边形的周长是否为定值?
(3)启发与证明:如图4,为了证明上述猜想,小华同学尝试延长GF交BC的延长线于M,试利用小华同学给我们的启发证明(2)中的猜想.
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如图,在等腰Rt△ABC中斜边BC=9,从中裁剪内接正方形DEFG,其中DE在斜边BC上,点F、G分别在直角边AC、AB上,按照同样的方式在余下的三角形中继续裁剪,如此操作下去,共可裁剪出边长大于1的正方形(    )个

A.2                     B.3              C.4              D.5
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图1是一个八角星形纸板,图中有八个直角,八个相等的钝角,每条边都相等.如图2将纸板沿虚线进行切割,无缝隙无重叠的拼成图3所示的大正方形,其面积为8+4,则图3中线段的长为      .
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