如图①,在正方形ABCD中,E、F分别是BC、CD上的点,且∠EAF=45°,则有结论EF=BE+FD成立;
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如图①,在正方形ABCD中,E、F分别是BC、CD上的点,且∠EAF=45°,则有结论EF=BE+FD成立;
题型:不详
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如图①,在正方形ABCD中,E、F分别是BC、CD上的点,且∠EAF=45
°
,则有结论EF=BE+FD成立; 小题1:如图②,在四边形ABCD中,AB=AD,∠B=∠D=90°,E、F分别是BC、CD上的点,且∠EAF是∠BAD的一半,那么结论EF=BE+FD是否仍然成立?若成立,请证明;若不成立,请说明理由;
小题2:若将(1)中的条件改为:在四边形ABCD中,AB=AD,∠B+∠D=180°,延长BC到点E,延长CD到点F,使得∠EAF仍然是∠BAD的一半,则结论EF=BE+FD是否仍然成立?若成立,请证明;若不成立,请写出它们之间的数量关系,并证明.
答案
小题1:结论EF= BE+FD成立.
延长EB到G,使BG=DF,连接AG.
∵∠ABG=∠D=90°, AB=AD,
∴△ABG≌△ADF.
∴AG=AF且∠1=∠2.
∴∠1+∠3=∠2+∠3=
∠BAD.
∴∠GAE=∠EAF.
又AE=AE,
∴△AEG≌△AEF.∴EG=EF.
即EF=BE+BG=BE+FD.
小题1:结论EF=BE+FD不成立,应当是EF=BE-FD.
在BE上截取BG,使BG=DF,连接AG.
应当是EF=BE-FD.
在BE上截取BG,使BG=DF,连接AG.
∵∠B+∠ADC=180°,∠ADF+∠ADC=180°,
∴∠B=∠ADF.
∵AB=AD,
∴△ABG≌△ADF.∴AG=AF.
∵∠1=∠2,
∴∠1+∠3=∠2+∠3=
∠BAD.
∴∠GAE=∠EAF.
∵AE=AE,
∴△AEG≌△AEF.∴EG=EF
即EF=BE-BG=BE-FD.
解析
小题1:结论仍然成立.延长CB到G,使BG=FD,根据已知条件容易证明△ABG≌△ADF,由此可以推出∠BAG=∠DAF,AG=AF,而∠EAF=
∠BAD,所以得到∠DAF+∠BAE=∠EAF,进一步得到∠EAF=∠GAE,现在可以证明△AEF≌△AEG,然后根据全等三角形的性质就可以证明结论成立;
小题1:结论不成立,应为EF=BE-DF,如图在CB上截取BG=FD,由于∠B+∠ADC=180°,∠ADF+∠ADC=180°,可以得到∠B=∠ADF,再利用已知条件可以证明△ABG≌△ADF,由此可以推出∠BAG=∠DAF,AG=AF,而∠EAF=
∠BAD,所以得到∠EAF=∠GAE,现在可以证明△AEF≌△AEG,再根据全等三角形的性质就可以证明EF=EG=EB-BG=EB-DF.
举一反三
如图,四边形ABCD是平行四边形,EF分别是BC、AD上的点,∠1=∠2.
求证:△ABE≌△CDF.
题型:不详
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用反证法证明命题“四边形中必有一个内角大于或等于90º时,首先应该假设
▲
.
题型:不详
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如图, □ABCD中,G是CD上一点,BG交AD延长线于E,AF=CG,
.
小题1:试说明DF=BG;
小题2:试求
的度数.
题型:不详
难度:
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已知矩形ABCD和点P,当点P在图1中的位置时,则有结论:S
△PBC
=S
△PAC
+
S
△PCD
理由:过点P作EF垂直BC,分别交AD、BC于E、F两点.
∵ S
△PBC
+S
△PAD
=BC·PF+AD·PE=BC(PF+PE)=BC·EF=S
矩形ABCD
又∵ S
△PAC
+S
△PCD
+S
△PAD
=S
矩形ABCD
∴S
△PBC
+S
△PAD
=S
△PAC
+S
△PCD
+S
△PAD
.
∴ S
△PBC
=S
△PAC
+S
△PCD
.
请你参考上述信息,当点P分别在图2、图3中的位置时,S
△PBC
、S
△PAC
、S
△PCD
又
有怎样的数量关系?请写出你对上述两种情况的猜想,并选择其中一种情况的猜想给
予证明.
题型:不详
难度:
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如图,在平行四边形ABCD中,E是BC的中点,且∠AEC=∠DCE,则下列结论不正确的是( )
A.S
△AFD
=2S
△EFB
B.BF=
DF
C.四边形AECD是等腰梯形
D.∠AEB=∠ADC
题型:不详
难度:
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