如图,在矩形ABEF中,C、D分别是边BE、AF的中点,AB=10,AF=20,点P、Q分别是BC、CD边上的点,且AP⊥PQ.(1)证明:△ABP∽△PQC;

如图,在矩形ABEF中,C、D分别是边BE、AF的中点,AB=10,AF=20,点P、Q分别是BC、CD边上的点,且AP⊥PQ.(1)证明:△ABP∽△PQC;

题型:不详难度:来源:
如图,在矩形ABEF中,C、D分别是边BE、AF的中点,AB=10,AF=20,点P、Q分别是BC、CD边上的点,且AP⊥PQ.
(1)证明:△ABP△PQC;
(2)延长PQ交CF于H,求证:AP=PH
(3)在边AB上是否存在一点G,使四边形GPHD是平行四边形?若存在,请给予证明;若不存在,请说明理由.魔方格
答案
(1)证明:∵四边形ABEF是矩形,
∴AF=BE,AB=EF,∠BAF=∠ABE=∠AFE=∠BEF=90°.
又∵AB=10,AF=20,
∴AF=2AB,
∵C、D分别是BE、AF的中点,

魔方格
∴四边形ABCD、CDFE是全等的正方形,
∴∠PCD=90°,
∴∠B=∠PCD,∠QPC+∠PQC=90°,
∵AP⊥PQ,
∴∠APB+∠QPC=90°,
∴∠APB=∠PQC,
∴△ABP△PQC;

(2)证明:在AB上截取AM=PC,
∵四边形ABCD、CDFE是全等的正方形,
∴AB=BC,∠ECF=45°,
∴BM=BP,∠PCH=135°,
∴∠BMP=45°,
∴∠AMP=135°,
∴∠AMP=∠PCH,
∵△ABP△PQC,
∴∠BAP=∠QPC,
∵在△AMP和△PCH中,





∠MAP=∠CPH
AM=PC
∠AMP=∠PCH

∴△AMP≌△PCH(ASA),
∴AP=PH;


魔方格
(3)满足条件的点G是存在的,此时AG=BP.  
证明如下:令DG与AP的交点为M.
∵四边形ABCD是正方形,
∴DA=AB,∠DAG=∠ABP,
∵在△DAG和△ABP中,





DA=AB
∠DAG=∠ABP
AG=BP

∴△DAG≌△ABP(SAS),
∴DG=AP,∠AGD=∠BPA.
∵AP=PH,∠BAP+∠BPA=90°,
∴DG=HP,∠BAP+∠AGD=90°,
∴∠AMG=90°,
即AP⊥DG,
∵AP⊥PH,
∴DGPH,
∴四边形GPHD是平行四边形.
举一反三
在给定条件下,能画出平行四边形的是(  )
A.以20cm,36cm为对角线,22cm为一条边
B.以6cm,10cm为对角线,2cm为一条边
C.以60cm为一条对角线,20cm,34cm为两条邻边
D.以6cm为一条对角线,3cm,10cm为两条邻边
题型:不详难度:| 查看答案
在四边形ABCD中,ADBC,AB=DC,则四边形ABCD是(  )
A.等腰梯形B.平行四边形
C.直角梯形D.等腰梯形或平行四边形
题型:不详难度:| 查看答案
在四边形ABCD中,O是对角线AC、BD的交点,能判定它是平行四边形的题设是(  )
A.AC=BD,AB=CDB.ADBC,∠A=∠C
C.AO=CO,BO=DOD.AO=CO,AB=CD
题型:不详难度:| 查看答案
下列说法:
①一组对边相等,另一组对边平行的四边形是平行四边形;
②对角线互相垂直的四边形是菱形;
③有三个角是直角的四边形是矩形;
④正方形的对角线相等.
其中错误的有(  )
A.1个B.2个C.3个D.4个
题型:不详难度:| 查看答案
下列给出的条件中,能判定四边形ABCD是平行四边形的为(  )
A.AB=BC,AD=CDB.AB=CD,ADBC
C.∠A=∠B,∠C=∠DD.ABCD,∠A=∠C
题型:不详难度:| 查看答案
最新试题
热门考点

超级试练试题库

© 2017-2019 超级试练试题库,All Rights Reserved.