已知在矩形ABCD中,AB=3,BC=4,P为对角线AC上一点,过P作BP的垂线交直线AD于点Q,若△APQ为等腰三角形,则AP的长度为______.
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已知在矩形ABCD中,AB=3,BC=4,P为对角线AC上一点,过P作BP的垂线交直线AD于点Q,若△APQ为等腰三角形,则AP的长度为______. |
答案
分为两种情况:①点Q在AD上时,∠AQP是钝角,只有AQ=AP, 即∠QAP=∠QPA, ∵四边形ABCD是矩形, ∴∠ABC=∠BAD=90°, ∵BP⊥PQ, ∴∠BPQ=90°, ∴∠BAP=∠BPA, ∴AB=BP, 即BQ垂直平分AP, ∴AE=EP, ∵∠ABC=∠AEB,∠BAE=∠BAE, ∴△ABE∽△ACB, ∴=, ∴=, ∴AE= ∴AP=2AE=; ②在Rt△ABC中,AB=3,∠ABC=90°,BC=4,由勾股定理得:AC=5, 点Q在DA延长线上,显然∠QAP是钝角,有AQ=AP,∠Q=∠APQ, ∵∠Q+∠AEQ=∠PBE+∠PEB=90°, ∴∠Q=∠PBE=∠APQ ∵∠APQ+∠BPC=∠PBE+∠PBC=90° ∴∠BPC=∠PBC, ∴CP=CB=4, ∴AP=5-4=1, 故答案为:或1. |
举一反三
将矩形ABCD沿AE折叠,得到如图所示的图形,已知∠CED′=60°,则∠AED的大小是( )
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矩形ABCD的对角线交于点O,过点A作AE∥BD交CB的延长线于点E,若∠BOC=60°,BD=,则△ACE的周长为______. |
如图,把大小相同的两个矩形拼成如下形状,则△FBD是( )A.等边三角形 | B.等腰直角三角形 | C.一般三角形 | D.等腰三角形 |
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如图,矩形ABCD中,点E、F分别是AB、CD的中点,连接DE和BF,分别取DE、BF的中点M、N,连接AM,CN,MN,若AB=2,BC=2,则图中阴影部分的面积为______.
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如图,在矩形ABCD中,F是BC中点,E是AD上一点,且∠EBC=30°,∠BEC=90°,EF=8cm,则矩形的面积为______.
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