如图,已知矩形ABCD和点P,当点P在边BC上任一位置(如图①所示)时,易证得结论:PA2+PC2=PB2+PD2.以下请你探究:当P点分别在图②、图③中的位置

如图,已知矩形ABCD和点P,当点P在边BC上任一位置(如图①所示)时,易证得结论:PA2+PC2=PB2+PD2.以下请你探究:当P点分别在图②、图③中的位置

题型:不详难度:来源:
如图,已知矩形ABCD和点P,当点P在边BC上任一位置(如图①所示)时,易证得结论:PA2+PC2=PB2+PD2
以下请你探究:当P点分别在图②、图③中的位置时,即P在矩形ABCD的内部和外部时,线段PA2,PB2,PC2,PD2又有怎样的数量关系?请你写出对上述两种情况的探究结论,并证明图②(P在矩形ABCD的内部)的结论.

答:对图②的探究结论为______,对图③的探究结论为______.
答案

图②,过点P作EFAB,作MNBC,
则四边形AMPE,四边形BFPM,四边形FCNP,四边形NDEP都是矩形,
根据勾股定理得,PA2=AE2+PE2
PB2=BF2+PF2
PC2=FC2+PF2
PD2=DE2+PE2
∵AE=BF,DE=FC,
∴(AE2+PE2)+(FC2+PF2)=(BF2+PF2)+(DE2+PE2),
即PA2+PC2=PB2+PD2

图③,过点P作PFAB交AD于点E,则四边形ABEF,四边形FCDE都是矩形,
根据勾股定理得,PA2=AE2+PE2,PB2=BF2+PF2,PC2=FC2+PF2,PD2=DE2+PE2
∵AE=BF,DE=FC,
∴(AE2+PE2)+(FC2+PF2)=(BF2+PF2)+(DE2+PE2),
即PA2+PC2=PB2+PD2
故答案为:对图②的探究结论为:PA2+PC2=PB2+PD2,对图③的探究结论为:PA2+PC2=PB2+PD2
举一反三
如图,在矩形ABCD中,AC,BD相交于点O.若AB=AO=3,则AD等于(  )
A.4B.2


8
C.3


3
D.3

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如图,一张矩形纸片沿AB对折,以AB中点O为顶点将平角五等分,并沿五等分的折线折叠,再沿CD剪开,使展开后为正五角星(正五边形对角线所构成的图形),则∠OCD等于(  )
A.108°B.114°C.126°D.129°
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如图,点E在矩形ABCD的边BC上,且DE=AD,AF⊥DE,垂足为F,求证:AF=DC.
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如图,以△ABC的三边为边在BC的同一侧分别作三个等边三角形,即△ABD、△BCE、△ACF

(1)证明四边形ADEF是平行四边形.
(2)当△ABC满足条件______时,四边形ADEF为矩形.
(3)当△ABC满足条件______时,四边形ADEF不存在.
(4)当△ABC满足条件______时,四边形ADEF为菱形.
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平行四边形的四个内角平分线能够围成(  )
A.平行四边形B.菱形C.矩形D.正方形
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