证明:(1)∵△ABD,△BCE都是等边三角形, ∴∠DBE=∠ABC=60°-∠ABE,AB=BD,BC=BE. 在△ABC和△DBE中 , ∴△ABC≌△DBE(SAS). ∴DE=AC. 又∵AC=AF, ∴DE=AF. 同理可得EF=AD. ∴四边形ADEF是平行四边形.
(2)∵四边形ADEF是平行四边形, ∴当∠DAF=90°时,四边形ADEF是矩形, ∴∠FAD=90°. ∴∠BAC=360°-∠DAF-∠DAB-∠FAC=360°-90°-60°-60°=150°. 则当∠BAC=150°时,四边形ADEF是矩形; 故答案为:∠BAC=150°;
(3)当∠BAC=60°时,∠DAF=180°, 此时D、A、F三点在同一条直线上,以A,D,E,F为顶点的四边形就不存在; 故答案为:∠BAC=60°;
(4)当AB=AC且∠BAC≠60°时,四边形ADEF是菱形, 理由是:由(1)知:AD=AB=EF,AC=DE=AF, ∵AC=AB, ∴AD=AF, ∵四边形ADEF是平行四边形,AD=AF, ∴平行四边形ADEF是菱形. 故答案为:AB=AC且∠BAC≠60°(或AB=AC≠BC). |