如图,四边形ABCD是矩形,△PBC和△QCD都是等边三角形,且点P在矩形上方,点Q在矩形内.求证:(1)∠PBA=∠PCQ=30°;(2)PA=PQ.

如图,四边形ABCD是矩形,△PBC和△QCD都是等边三角形,且点P在矩形上方,点Q在矩形内.求证:(1)∠PBA=∠PCQ=30°;(2)PA=PQ.

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如图,四边形ABCD是矩形,△PBC和△QCD都是等边三角形,且点P在矩形上方,点Q在矩形内.
求证:(1)∠PBA=∠PCQ=30°;
(2)PA=PQ.
答案
证明:(1)∵四边形ABCD是矩形.
∴∠ABC=∠BCD=90°.(1分)
∵△PBC和△QCD是等边三角形.
∴∠PBC=∠PCB=∠QCD=60°.(1分)
∴∠PBA=∠ABC-∠PBC=30°,(1分)
∠PCD=∠BCD-∠PCB=30°.
∴∠PCQ=∠QCD-∠PCD=30°.
∴∠PBA=∠PCQ=30°.(1分)

(2)∵AB=DC=QC,∠PBA=∠PCQ,PB=PC.(1分)
∴△PAB≌△PQC.(2分)
∴PA=PQ.(1分)
举一反三
如图所示,把两个大小完全一样的矩形拼成“L”形图案,则∠FAC=______度,∠FCA=______度.
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如图所示,在矩形ABCD中AB=12,AC=20,两条对角线相交于点O.以OB、OC为邻边作第1个平行四边形OBB1C,对角线相交于点A1;再以A1B1、A1C为邻边作第2个平行四边形A1B1C1C,对角线相交于点O1;再以O1B1,O1C1为邻边作第3个平行四边形O1B1B2C1;…以此类推.
(1)矩形ABCD的面积为______;
(2)第1个平行四边行OBB1C的面积为______;
第2个平行四边形A1B1C1C的面积为______;
(3)第n个平行四边形的面积为______.
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如图,在矩形ABCD中,AB=2BC,N为DC的中点,点M在DC上,且AM=AB,则∠MBN的度数为______.
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如图,十三个边长为正整数的正方形纸片恰好拼成一个大矩形(其中有三个小正方形的边长已标出字母x,y,z).试求满足上述条件的矩形的面积最小值.
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如图,过矩形ABCD对角线的交点O,且分别交AB、CD于E、F,那么阴影部分的面积是矩形ABCD的面积的______.
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