如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，DE平分∠ADC，∠AOB=60°，则∠COE=______度．

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答案

∵四边形ABCD是矩形，
∴AO=CO=BO=OD，（矩形的对角线相等且互相平分）
∵∠AOB=60°，
∴∠COD=60°，（对顶角相等）
∴△AOB和△COD为等边三角形，（有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形）
∴∠BAC=60°，CD=OC，
则∠ACB=30°，（直角三角形两锐角互余）
∵DE平分∠ADC，
∴∠EDC=45°，
可得△DCE为等腰直角三角形，
∴CD=EC，
∴EC=OC，（等量代换）
∴∠COE=∠CEO，
∴∠COE=75°（三角形内角和是180°）．
故答案为75．

举一反三

矩形的两条对角线夹角为120°，矩形的宽为3，则矩形的面积是（　　）

A．

B．3

C．6

D．9

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如图，四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、BD交于点O，∠OBC=∠OCB，求证：四边形ABCD是矩形．

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如图1，以矩形ABCD的顶点A为原点，AD所在的直线为x轴，AB所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系．点D的坐标为（8，0），点B的坐标为（0，6），点F在对角线AC上运动（点F不与点A、C重合），过点F分别作x轴、y轴的垂线，垂足为G、E．设四边形BCFE的面积为S₁，四边形CDGF的面积为S₂，△AFG的面积为S₃．
（1）试判断S₁，S₂的关系，并加以证明；
（2）当S₃：S₂=1：3时，求点F的坐标；
（3）如图2，在（2）的条件下，把△AEF沿对角线AC所在直线平移，得到△A′E′F′，且A′，F′两点始终在直线AC上，是否存在这样的点E′，使点E′到x轴的距离与到y轴的距离比是5：4？若存在，请求出点E′的坐标；若不存在，请说明理由．

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某研究性学习小组在探究矩形的折纸问题时，将一块直角三角板的直角顶点绕着矩形ABCD（DC＜BC）的对角线交点O旋转（如图①→②），图中M、N分别为直角三角板的直角边与三角形DBC的边CD、BC的交点．
（1）在图①（三角板的一直角边与OD重合）中，有CN²+DC²=BN²成立，请说明理由．
（2）试探究图②中BN、CN、CM、DM这四条线段之间的数量关系，请你用一个等式在横线上直接表示出探究的结论：______．证明你的结论．

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已知矩形的一条对角线长为18cm，两条对角线的一个交角为60°，求矩形的长和宽．

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