如图所示,在△ABC中,AB=AC,P为BC的中点,PE⊥AB于E,PF⊥AC于F,EM⊥AC于M,FN⊥AB于N,EM与FN相交于点Q,那么四边形PEQF是菱

如图所示,在△ABC中,AB=AC,P为BC的中点,PE⊥AB于E,PF⊥AC于F,EM⊥AC于M,FN⊥AB于N,EM与FN相交于点Q,那么四边形PEQF是菱

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如图所示,在△ABC中,AB=AC,P为BC的中点,PE⊥AB于E,PF⊥AC于F,EM⊥AC于M,FN⊥AB于N,EM与FN相交于点Q,那么四边形PEQF是菱形吗?说明你的理由.
答案
解:四边形PEQF是菱形.
证明:∵PE⊥AB,FN⊥AB,
∴PE∥FN.
同理,PF∥EM.
∴四边形PEQF是平行四边形.
∵AB=AC,
∴∠B=∠C.
又∵PE⊥AB,PF⊥AC,
∴∠BEP=∠CFP=90°.
又∵BP=CP,
∴△BEP≌△CFP(AAS).
∴PE=PF.
∴四边形PEQF是菱形.
举一反三
如图所示,在△ABC中,∠ACB=90°,AD平分∠BAC交BC于D,CG⊥AB于G,交AD于F,DE⊥AB于E,那么四边形CDEF是菱形吗?说说你的理由.
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园林工人打算在人民公园里设计一个菱形的花坛,要求使菱形两条对角线的长分别为12m和16m,小明设计了下列方案,如图所示.
(1)小明首先在地上确定两个点A、C,使AC=16m;
(2)再确定AC的中点O,然后过O点作EF⊥AC,垂足为O点,分别在OE、OF上截取
OD=6m,OB=6m;
(3)分别连接AB、BC、CD、DA,则四边形ABCD就是要确定的菱形花坛,你能说明其中的道理吗?
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如图所示,在菱形ABCD中,AB=10,∠BAD=60°,点M从点A以每秒1个单位长度的速度沿着AD边向点D移动,设点M移动的时间为t(0≤t≤10),点N为BC边上任意一点,在点M移动的过程中,线段MN是否可以将菱形ABCD分割成面积相等的两部分?请说明理由.
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已知:如图,平行四边形ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别相交于点E、F.求证:四边形AFCE是菱形.
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已知:如图,过平行四边形ABCD的对角线交点O作互相垂直的两条直线EG、FH与平行四边形ABCD各边分别相交于点E、F、G、H.求证:四边形EFGH是菱形.
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