如图，矩形ABCD中，点P是线段AD上一动点，O为BD的中点，PO的延长线交BC于Q。（1）求证：OP=OQ；（2）若AD=8厘米，AB=6厘米，P从点A出发，

题型：期末题难度：来源：

如图，矩形ABCD中，点P是线段AD上一动点，O为BD的中点，PO的延长线交BC于Q。
（1）求证：OP=OQ；
（2）若AD=8厘米，AB=6厘米，P从点A出发，以1厘米/秒的速度向D运动（不与D重合），设点P运动时间为t秒，请用t表示PD的长；并求t为何值时，四边形PBQD是菱形。

答案

解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠PDO=∠QBO，
又OB=OD，∠POD=∠QOB，
∴△POD≌△QOB，
∴OP=OQ。
（2）由题意知，PD=8-t厘米（0≤t＜8），
当四边形PBQD是菱形时，PB=PD=（8-t）厘米，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=90°，
在Rt△ABP中，AB=6厘米，AP=t厘米，
∵AP²+AB²=BP²，
∴t²+6²=（8-t）²，
解得t=，
即运动时间为秒时，四边形PBQD是菱形。