已知四边形ABCD，对角线AC、BD交于点O.现给出四个条件： ①AC⊥BD；②AC平分对角线BD；③AD∥BC；④∠OAD=∠ODA。请你以其中的三个条件作为

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已知四边形ABCD，对角线AC、BD交于点O.现给出四个条件： ①AC⊥BD；②AC平分对角线BD；③AD∥BC；④∠OAD=∠ODA。请你以其中的三个条件作为命题的题设，以“四边形ABCD为菱形”作为命题的结论。
（1）写出一个真命题，并证明；
（2）写出一个假命题，并举出一个反例说明。

答案

解：（1）如：若AC⊥BD，AC平分线段BD，AD∥BC，则四边形ABCD是菱形。
证明：如图，设AC与BD交于上点O。
∵AC平分BD
∴BO=DO
又AC⊥BD
∴△ABO≌△ADO
∴AB=AD，∠ABD=∠ADB
同理可知BC=CD
∵AD∥BC
∴∠ADB=∠DBC
∴∠ABO=∠CBO
∴△ABO≌△CBO
∴AB=BC
∴AB=BC=CD=AD
∴四边形ABCD是菱形。（答案不唯一）

（2）如：若AC平分BD，AD∥BC，∠OAD=∠ODA，则四边形ABCD是菱形
反例：如图，四边形ABCD为矩形。（答案不唯一）

举一反三

如图所示，在△ABC中，分别以AB、AC、BC为边在BC的同侧作等边△ABD，等边△ACE、等边△BCF。

（1）求证：四边形DAEF是平行四边形；
（2）探究下列问题：（只填满足的条件，不需证明）
①当△ABC满足_____条件时，四边形DAEF是矩形；
②当△ABC满足_____条件时，四边形DAEF是菱形；
③当△ABC满足_____条件时，以D、A、E、F为顶点的四边形不存在。

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如图，菱形ABCD的边长为2，∠ABC=45°，则点D的坐标为（）。

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如图，已知平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，E是BD延长线上的点，且△ACE是等边三角形。

（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若∠AED=2∠EAD，求证：四边形ABCD是正方形。

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如图，△ABC中，点O是边AC上一个动点，过O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F。
（1）探究：线段OE与OF的数量关系并加以证明；
（2）当点O在边AC上运动时，四边形BCFE会是菱形吗？若是，请证明，若不是，则说明理由；
（3）当点O运动到何处，且△ABC满足什么条件时，四边形AECF是正方形？

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如图，在平行四边形ABCD中，请再添加一个条件，使它成为菱形，则该条件可以是（）。　

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