(理科)一动圆过定点P(0,1),且与定直线l:y=-1相切.(1)求动圆圆心C的轨迹方程;(2)若(1)中的轨迹上两动点记为A(x1,y1),B(x2,y2)
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(理科)一动圆过定点P(0,1),且与定直线l:y=-1相切.(1)求动圆圆心C的轨迹方程;(2)若(1)中的轨迹上两动点记为A(x1,y1),B(x2,y2)
题型:不详
难度:
来源:
(理科)一动圆过定点P(0,1),且与定直线l:y=-1相切.
(1)求动圆圆心C的轨迹方程;
(2)若(1)中的轨迹上两动点记为A(x
1
,y
1
),B(x
2
,y
2
),且x
1
x
2
=-16.
①求证:直线AB过一定点,并求该定点坐标;
②求
1
|PA|
+
1
|PB|
的取值范围.
答案
(1)由已知可得:点C到P的距离与到定直线l的距离相等.
所以圆心C的轨迹是以p为焦点,定直线l为准线的抛物线,
∴所求抛物线的方程为:x
2
=4y.
(2)①设AB:y=kx+b,由
y=kx+b
x
2
=4y
,消去y得:x
2
-4kx-4b=0.
∴x
1
+x
2
=4k.x
1
x
2
=-4b,∵x
1
x
2
=-16,
∴b=4,∴直线AB过定点(0,4).
②由抛物线的定义可知:|PA|=y
1
+1,|PB|=y
2
+1,
∴
1
|PA|
+
1
|PB|
=
1
y
1
+1
+
1
y
2
+1
=
y
1
+
y
2
+2
y
1
y
2
+
y
1
+
y
2
+1
y
1
=kx
1
+4,y
2
=kx
2
+4,x
1
+x
2
=4k.x
1
x
2
=-16,
1
|PA|
+
1
|PB|
=
k(
x
1
+
x
2
)+10
k
2
x
1
x
2
+5k(
x
1
+
x
2
)+25
=
4
k
2
+10
4
k
2
+25
=
1-
15
4
k
2
+25
∈[
2
5
,1)
,
∴所求
1
|PA|
+
1
|PB|
的取值范围是
[
2
5
,1)
.
举一反三
(文科)一动圆过定点P(0,1),且与定直线l:y=-1相切.
(1)求动圆圆心C的轨迹方程;
(2)若(1)中的轨迹上两动点记为A(x
1
,y
1
),B(x
2
,y
2
),且x
1
x
2
=-16.
①求证:直线AB过一定点,并求该定点坐标;
②求|PA|+|PB|的取值范围.
题型:不详
难度:
|
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已知椭圆的两焦点为F
1
(-1,0)、F
2
(1,0),P为椭圆上一点,且2|F
1
F
2
|=|PF
1
|+|PF
2
|.
(1)求此椭圆的方程;
(2)若点P在第二象限,∠F
2
F
1
P=120°,求△PF
1
F
2
的面积.
题型:不详
难度:
|
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以椭圆
x
2
16
+
y
2
4
=1
内的点M(1,1)为中点的弦所在直线方程为______.
题型:不详
难度:
|
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已知圆C过定点F(-
1
4
,0),且与直线x=
1
4
相切,圆心C的轨迹为E,曲线E与直线l:y=k(x+1)(k∈R)相交于A、B两点.
(I)求曲线E的方程;
(II)当△OAB的面积等于
10
时,求k的值;
题型:不详
难度:
|
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过抛物线y
2
=2px(p>0)的焦点F的直线与抛物线交于A,B两点,抛物线准线与x轴交于C点,若∠CBF=90°,则|AF|-|BF|的值为( )
A.
p
2
B.p
C.
3p
2
D.2p
题型:不详
难度:
|
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