(文科)一动圆过定点P(0,1),且与定直线l:y=-1相切.(1)求动圆圆心C的轨迹方程;(2)若(1)中的轨迹上两动点记为A(x1,y1),B(x2,y2)
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(文科)一动圆过定点P(0,1),且与定直线l:y=-1相切. (1)求动圆圆心C的轨迹方程; (2)若(1)中的轨迹上两动点记为A(x1,y1),B(x2,y2),且x1x2=-16. ①求证:直线AB过一定点,并求该定点坐标; ②求|PA|+|PB|的取值范围. |
答案
(1)由已知动圆过定点P(0,1),且与定直线l:y=-1相切, ∴动圆圆心C到点P与到定直线l的距离相等, ∴点C的轨迹是以P为焦点,定直线l为准线的抛物线. ∴所求方程为:x2=4y; (2)①证明:设直线AB方程为:y=kx+b, 由,消去y得:x2-4kx-4b=0. ∴x1+x2=4k,x1x2=-4b. ∵x1x2=-16,∴b=4. ∴直线AB过定点(0,4); ②由抛物线定义知:|PA|=y1+1,|PB|=y2+1, 又y1=kx1+4,y2=kx2+4,x1+x2=4k,x1x2=-16. ∴|PA|+|PB|=k(x1+x2)+10=4k2+10≥10(等号当k=0时成立), ∴所求|PA|+|PB|的取值范围是[10,+∞). |
举一反三
已知椭圆的两焦点为F1(-1,0)、F2(1,0),P为椭圆上一点,且2|F1F2|=|PF1|+|PF2|. (1)求此椭圆的方程; (2)若点P在第二象限,∠F2F1P=120°,求△PF1F2的面积. |
以椭圆+=1内的点M(1,1)为中点的弦所在直线方程为______. |
已知圆C过定点F(-,0),且与直线x=相切,圆心C的轨迹为E,曲线E与直线l:y=k(x+1)(k∈R)相交于A、B两点. (I)求曲线E的方程; (II)当△OAB的面积等于时,求k的值; |
过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F的直线与抛物线交于A,B两点,抛物线准线与x轴交于C点,若∠CBF=90°,则|AF|-|BF|的值为( ) |
椭圆C1:+=1(a>b>0)的左右顶点分别为A、B.点P双曲线C2:-=1在第一象限内的图象上一点,直线AP、BP与椭圆C1分别交于C、D点.若△ACD与△PCD的面积相等. (1)求P点的坐标; (2)能否使直线CD过椭圆C1的右焦点,若能,求出此时双曲线C2的离心率,若不能,请说明理由. |
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