椭圆C1：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的左右顶点分别为A、B．点P双曲线C2：x2a2-y2b2=1在第一象限内的图象上一点，直线AP、BP与椭圆C1分

题型：不详难度：来源：

椭圆C₁：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左右顶点分别为A、B．点P双曲线C₂：

x2

a2

-

y2

b2

=1在第一象限内的图象上一点，直线AP、BP与椭圆C₁分别交于C、D点．若△ACD与△PCD的面积相等．
（1）求P点的坐标；
（2）能否使直线CD过椭圆C₁的右焦点，若能，求出此时双曲线C₂的离心率，若不能，请说明理由．

答案

（1）设P（x₀，y₀）（x₀＞0，y₀＞0），又有点A（-a，0），B（a，0）．
∵S_△ACD=S_△PCD，
∴C为AP的中点，∴C(

x0-a

2

，

y0

2

)．
将C点坐标代入椭圆方程，得

(x0-a)2

a2

+

y 20

b2

=4，
又

x 20

a2

-

y 20

b2

=1⇒

(x0-a)2

a2

+

x 20

a2

=5，
∴x₀=2a（x₀=-a舍去），
∴y0=

3

b，
∴P(2a，

3

b)．
（2）∵KPD=KPB=

y0

x0-a

=

3 b

a

，
直线PD：y=

3 b

a

(x-a)代入

x2

a2

+

y2

b2

=1⇒2x²-3ax+a²=0
∴xD=

a

2

(xD=a舍去)，
∴C(

x0-a

2

，

y0

2

)，即C(

a

2

，

3

2

b)
∴CD垂直于x轴．若CD过椭圆C₁的右焦点，则

a

2

=

a2-b2

，
∴b=

3

2

a，
∴e=

a2+b2

a

=

7

2

．故可使CD过椭圆C₁的右焦点，此时C₂的离心率为

7

2

．