如图,直线y=kx+b与椭圆x24+y2=1交于A,B两点,记△AOB的面积为S.(I)求在k=0,0<b<1的条件下,S的最大值;(Ⅱ)当|AB|=2,S=1
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如图,直线y=kx+b与椭圆x24+y2=1交于A,B两点,记△AOB的面积为S.(I)求在k=0,0<b<1的条件下,S的最大值;(Ⅱ)当|AB|=2,S=1
题型:不详
难度:
来源:
如图,直线y=kx+b与椭圆
x
2
4
+
y
2
=1交于A,B两点,记△AOB的面积为S.
(I)求在k=0,0<b<1的条件下,S的最大值;
(Ⅱ)当|AB|=2,S=1时,求直线AB的方程.
答案
(Ⅰ)设点A的坐标为(x
1
,b),点B的坐标为(x
2
,b),
由
x
2
4
+
b
2
=1
,解得
x
1,2
=±2
1-
b
2
,
所以
S=
1
2
b•|
x
1
-
x
2
|
=
2b•
1-
b
2
≤b
2
+1-b
2
=1.
当且仅当
b=
2
2
时,S取到最大值1.
(Ⅱ)由
y=kx+b
x
2
4
+
y
2
=1
得
(
k
2
+
1
4
)
x
2
+2kbx+
b
2
-1=0
,①
△=4k
2
-b
2
+1,
|AB|=
1+
k
2
•|
x
2
-
x
1
|
=
1+
k
2
•
4
k
2
-
b
2
+1
1
4
+
k
2
=2
.②
设O到AB的距离为d,则
d=
2S
|AB|
=1
,
又因为
d=
|b|
1+
k
2
,
所以b
2
=k
2
+1,代入②式并整理,得
k
4
-
k
2
+
1
4
=0
,
解得
k
2
=
1
2
,
b
2
=
3
2
,代入①式检验,△>0,
故直线AB的方程是
y=
2
2
x+
6
2
或
y=
2
2
x-
6
2
或
y=-
2
2
x+
6
2
,或
y=-
2
2
x-
6
2
.
举一反三
F
1
,F
2
是双曲线
x
2
a
2
-
y
2
b
2
=1(a>0,b>0)
的左右焦点,Q是双曲线上动点,从左焦点引∠F
1
QF
2
的平分线的垂线,垂足为P,则P点的轨迹是( )的一部分.
A.圆
B.椭圆
C.双曲线
D.抛物线
题型:不详
难度:
|
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已知点F是双曲线C:x
2
-y
2
=2的左焦点,直线l与双曲线C交于A、B两点,
(1)若直线l过点P(1,2),且
OA
+
OB
=2
OP
,求直线l的方程.
(2)若直线l过点F且与双曲线的左右两支分别交于A、B两点,设
FB
=λ
FA
,当λ∈[6,+∞)时,求直线l的斜率k的取值范围.
题型:不详
难度:
|
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如图,已知抛物线C:x
2
=2py(p>0)与圆O:x
2
+y
2
=8相交于A、B两点,且
OA
•
OB
=0
(O为坐标原点),直线l与圆O相切,切点在劣弧AB(含A、B两点)上,且与抛物线C相交于M、N两点,d是M、N两点到抛物线C的焦点的距离之和.
(Ⅰ)求p的值;
(Ⅱ)求d的最大值,并求d取得最大值时直线l的方程.
题型:不详
难度:
|
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如图,抛物线顶点在原点,圆x
2
+y
2
=4x的圆心是抛物线的焦点,直线l过抛物线的焦点,且斜率为2,直线l交抛物线与圆依次为A、B、C、D四点.
(1)求抛物线的方程.
(2)求|AB|+|CD|的值.
题型:不详
难度:
|
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如图,M是抛物线y
2
=x上的一个定点,动弦ME、MF分别与x轴交于不同的点A、B,且|MA|=|MB|.证明:直线EF的斜率为定值.
题型:不详
难度:
|
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