如图，在正方形ABCD中，F是CD的中点，E是BC边上的一点，且AF平分∠DAE（1）若正方形ABCD的边长为4，BE=3，求EF的长？（2）求证：AE=EC+

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如图，在正方形ABCD中，F是CD的中点，E是BC边上的一点，且AF平分∠DAE
（1）若正方形ABCD的边长为4，BE=3，求EF的长？
（2）求证：AE=EC+CD．

答案

（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=CD=BC，∠D=∠C=90°．
∵BE=3，
∴EC=1．
∵F是CD的中点，
∴DF=CF=2．
在Rt△EFC中，由勾股定理得
EF=

CE2+CF2

12+22

．

（2）证明：过F作FG⊥AE于G
∵AF平分∠DAE，∠D=90°，FG⊥AE，

∴∠DAF=∠EAF，FG=FD，
在Rt△AGF与Rt△ADF中，
∵AF为公共边，FG=FD
∴Rt△AGF≌Rt△ADF（HL）．
∴AG=AD，GF=DF．
∵DF=FC=FG，FE为公共边，
∴△FGE≌△FCE．
∴GE=CE．
∵AE=AG+GE，AG=AD=CD，GE=CE，
∴AE=EC+CD．

举一反三

如图，已知：△ABC为边长是4

的等边三角形，四边形DEFG为边长是6的正方形．现将等边△ABC和正方形DEFG按如图1的方式摆放，使点C与点E重合，点B、C（E）、F在同一条直线上，△ABC从图1的位置出发，以每秒1个单位长度的速度沿EF方向向右匀速运动，当点C与点F重合时暂停运动，设△ABC的运动时间为t秒（t≥0）．

（1）在整个运动过程中，设等边△ABC和正方形DEFG重叠部分的面积为S，请直接写出S与t之间的函数关系式；
（2）如图2，当点A与点D重合时，作∠ABE的角平分线BM交AE于M点，将△ABM绕点A逆时针旋转，使边AB与边AC重合，得到△ACN．在线段AG上是否存在H点，使得△ANH为等腰三角形．如果存在，请求出线段EH的长度；若不存在，请说明理由．
（3）如图3，若四边形DEFG为边长为4

的正方形，△ABC的移动速度为每秒

个单位长度，其余条件保持不变．△ABC开始移动的同时，Q点从F点开始，沿折线FG-GD以每秒2

个单位长度开始移动，△ABC停止运动时，Q点也停止运动．设在运动过程中，DE交折线BA-AC于P点，则是否存在t的值，使得PC⊥EQ，若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．

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如图，正方形的面积为36cm²，M是对角线AC上一点，且ME⊥AB于E，MF⊥BC于F，则ME+MF=______cm．