如图,点E是正方形ABCD的边CD上一点,点F是CB的延长线上一点,且AE⊥AF,A为垂足.求证:△AEF是等腰直角三角形.

如图,点E是正方形ABCD的边CD上一点,点F是CB的延长线上一点,且AE⊥AF,A为垂足.求证:△AEF是等腰直角三角形.

题型:不详难度:来源:
如图,点E是正方形ABCD的边CD上一点,点F是CB的延长线上一点,且AE⊥AF,A为垂足.
求证:△AEF是等腰直角三角形.
答案
证明:∵四边形ABCD是正方形,
∴AB=AD,∠ABC=∠D=∠BAD=90°
∴∠ABF=90°.
∵AE⊥AF,
∴∠FAE=90°.
∴∠FAE=∠BAD,
∴∠FAE-∠BAE=∠BAD-∠BAE,
即∠BAF=∠DAE.
∵在△BAF和△DAE中,





∠BAF=∠DAE
BA=DA
∠ABF=∠ADE

∴△BAF≌△DAE(ASA),
∴AF=AE.
∴△AEF是等腰直角三角形.
举一反三
如图,在正方形ABCD中,点E、F分别在CD、BC上,且BF=CE,连结BE、AF相交于点G,则下列结论:①BE=AF;②∠DAF=∠BEC;③∠AFB+∠BEC=90°;④AF⊥BE中正确的有(  )
A.①②③B.②③④C.①②③④D.①②④

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如图1,已知正方形ABCD,将一个45度角∝的顶点放在D点并绕D点旋转,角的两边分别交AB边和BC边于点E和F,连接EF.求证:EF=AE+CF
(1)小明是这样思考的:延长BC到G,使得CG=AE,连接DG,先证△DAE≌△DCG,再证△DEF≌△DGF,请你借助图2,按照小明的思路,写出完整的证明思路.
(2)刘老师看到这条题目后,问了小明两个小问题:①如果正方形的边长和△BEF的面积都等于6,求EF的长②将角∝绕D点继续旋转,使得角∝的两边分别和AB边延长线、BC边的延长线交于E和F,如图3所示,猜想EF、AE、CF三线段之间的数量关系并给予证明.请你帮忙解决.
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如图所示,正方形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,DE平分∠ODC交OC于点E,若AB=2,则线段OE的长为(  )
A.


2
2
B.
2


2
3
C.2-


2
D.


2
-1

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已知正方形ABCD,以CD为边作等边△CDE,则∠AED的度数是______.
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如图正方形ABCD中,点E、F分别在BC、CD上,且∠EAF=45°.
(1)求证:BE+DF=EF;
(2)若BE=3,DF=2,求AB的长.
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