如图,已知:ABCD是正方形,E是CF上的一点,若DBEF是菱形,则∠EBC等于(  )A.15°B.22.5°C.30°D.25°

如图,已知:ABCD是正方形,E是CF上的一点,若DBEF是菱形,则∠EBC等于(  )A.15°B.22.5°C.30°D.25°

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如图,已知:ABCD是正方形,E是CF上的一点,若DBEF是菱形,则∠EBC等于(  )
A.15°B.22.5°C.30°D.25°

答案
过D作DG⊥CF,垂足为G,如图所示:
∵四边形ABCD为正方形,
∴∠CBD=∠CDB=45°,∠BCD=90°,
设正方形ABCD的边长为1,即AB=BC=CD=AD=1,
∴根据勾股定理得:BD=


1+1
=


2

∵四边形BEFD为菱形,
∴BE=EF=DF=BD=


2

又BDEF,DG⊥FC,
∴BD⊥DG,即∠BDG=90°,
∴∠CDG=∠BDG-∠BDC=90°-45°=45°,又∠DGC=90°,
∴△DCG为等腰直角三角形,又DC=1,
∴DG=DCsin45°=


2
2
,又DF=


2

在Rt△DFG中,由DG=
1
2
DF,
∴∠F=30°,
∴∠DBE=30°,
则∠EBC=∠DBC-∠DBE=45°-30°=15°.
故选A
举一反三
如图,四边形ABCD和MNPQ都是边长为a的正方形,点A是MNPQ的中心(即两条对角线MP和NQ的交点),点E是AB与MN的交点,点F是NP与AD的交点,则四边形AENF的面积是(  )
A.
a2
4
B.
a2
3
C.
2a2
5
D.
2a2
3

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如图,在正方形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,AF平分∠BAC,交BD于点F.

(1)求证:AB-OF=
1
2
AC

(2)点A1、点C1分别同时从A、C两点出发,以相同的速度运动相同的时间后同时停止,如图,A1F1平分∠BA1C1,交BD于点F1,过点F1作F1E⊥A1C1,垂足为E,请猜想EF1,AB与
1
2
A1C1
三者之间的数量关系,并证明你的猜想;
(3)在(2)的条件下,当A1E1=6,C1E1=4时,求BD的长.
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如图,已知直线l1l2l3l4,相邻两条平行直线间的距离都是2,线段AB的两端点分别在直线l1、l3上并与l2相交于点E,
①AE与BE的长度大小关系为______;
②若以线段AB为一边作正方形ABCD,C、D两点恰好分别在直线l2、l4上,则sinα=______.
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已知:如图正方形ABCD,E是BC的中点,F在AB上,且BF=
1
4
AB,猜想EF与DE的位置关系,并说明理由.
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如图,一个直角三角形的直角顶点P在正方形ABCD的对角线AC所在的直线上滑动,并使得一条直角边始终经过B点.
(1)如图1,当直角三角形的另一条直角边和边CD交于Q点,
PB
PQ
=______;
(2)如图2,当另一条直角边和边CD的延长线相交于Q点时,
PB
PQ
=______;
(3)如图3或图4,当直角顶点P运动到AC或CA的延长线上时,请你在图3或图4中任选一种情形,求
PB
PQ
的值,并说明理由.
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