如图,在正方形ABCD中,△AEF的顶点E,F分别在BC、CD边上,高AG与正方形的边长相等,连BD分别交AE、AF于点M、N,若EG=4,GF=6,BM=32

如图,在正方形ABCD中,△AEF的顶点E,F分别在BC、CD边上,高AG与正方形的边长相等,连BD分别交AE、AF于点M、N,若EG=4,GF=6,BM=32

题型:不详难度:来源:
如图,在正方形ABCD中,△AEF的顶点E,F分别在BC、CD边上,高AG与正方形的边长相等,连BD分别交AE、AF于点M、N,若EG=4,GF=6,BM=3


2
,则MN的长为______.
答案
如图,连接GM,GN,
∵AG=AB,AE=AE,∴△AGE≌△ABE,
同理可证△AGF≌△ADF,
∴BE=EG=4,DF=FG=6,
设正方形的边长为a,在Rt△CEF中,CE=a-4,CF=a-6,
由勾股定理,得CE2+CF2=EF2,即(a-4)2+(a-6)2=102
解得a=12或-2(舍去负值),
∴BD=12


2

易证△ABM≌△AGM,△ADN≌△AGN,
∴MG=BM=3


2
,NG=ND=12


2
-3


2
-MN=9


2
-MN,
∠MGN=∠MGA+∠NGA=∠MBA+∠NDA=90°,
在Rt△GMN中,由勾股定理,得MG2+NG2=MN2
即(3


2
2+(9


2
-MN)2=MN2
解得MN=5


2

故答案为:5


2

举一反三
如图,A,B、C三点共线,正方形BCDE和ABFG的边长分别为2a、a,连接CE和CG,则图中阴影部分的面积是______.
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如图,已知四边形ABCD是四个角都是直角,四条边都相等的正方形,点E在BC上,且CE=
1
4
BC,点F是CD的中点,延长AF与BC的延长线交于点M.以下结论:①AB=CM;②AE=AB+CE;③S△AEF=
1
4
S四边形ABCF
;④∠AFE=90°,其中正确的结论的个数有(  )
A.1个B.2个C.3个D.4个

题型:不详难度:| 查看答案
如图,正方形ABCD中,G是CD边上的一个动点(点G与C、D不重合),以CG为一边向正方形ABCD外作正方形GCEF,连接DE,连接BG并延长交DE于H.
(1)求证:∠BGC=∠DEC.
(2)若正方形ABCD的边长为1,试问当点G运动到什么位置时,BH垂直平分DE?
题型:不详难度:| 查看答案
如图,把边长为1的正方形ABCD的对角线AC分成n段,以每一段为对角线作小正方形,所有小正方形的周长之和为______.
题型:不详难度:| 查看答案
如图,四边形ABCD是正方形,BE⊥BF,BE=BF,EF与BC交于点G.
(1)求证:△ABE≌△CBF;
(2)若∠ABE=50°,求∠EGC的大小.
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