如图,边长一定的正方形ABCD,Q为CD上一个动点,AQ交BD于点M,过M作MN⊥AQ交BC于点N,作NP⊥BD于点P,连接NQ,下列结论:①AM=MN;②MP

如图,边长一定的正方形ABCD,Q为CD上一个动点,AQ交BD于点M,过M作MN⊥AQ交BC于点N,作NP⊥BD于点P,连接NQ,下列结论:①AM=MN;②MP

题型:不详难度:来源:
如图,边长一定的正方形ABCD,Q为CD上一个动点,AQ交BD于点M,过M作MN⊥AQ交BC于点N,作NP⊥BD于点P,连接NQ,下列结论:①AM=MN;②MP=
1
2
BD;③BN+DQ=NQ;④
AB+BN
BM
为定值.其中一定成立的是(  )
A.①②③B.①②④C.②③④D.①②③④
魔方格
答案

魔方格
如图:作AU⊥NQ于U,连接AN,AC,
∵∠AMN=∠ABC=90°,
∴A,B,N,M四点共圆,
∴∠NAM=∠DBC=45°,∠ANM=∠ABD=45°,
∴∠ANM=∠NAM=45°,
∴由等角对等边知,AM=MN,故①正确.
由同角的余角相等知,∠HAM=∠PMN,
∴Rt△AHM≌Rt△MPN
∴MP=AH=
1
2
AC=
1
2
BD,故②正确,
∵∠BAN+∠QAD=∠NAQ=45°,
∴三角形ADQ绕点A顺时针旋转90度至ABR,使AD和AB重合,在连接AN,证明三角形AQN≌ANR,得NR=NQ
则BN=NU,DQ=UQ,
∴点U在NQ上,有BN+DQ=QU+UN=NQ,故③正确.

魔方格
如图,作MS⊥AB,垂足为S,作MW⊥BC,垂足为W,点M是对角线BD上的点,
∴四边形SMWB是正方形,有MS=MW=BS=BW,
∴△AMS≌△NMW,
∴AS=NW,
∴AB+BN=SB+BW=2BW,
∵BW:BM=1:


2

AB+BN
BM
=
2


2
=


2
,故④正确.
故选D.
举一反三
如图,以锐角△ABC的边AC、AB为边向外作正方形ACDE和正方形ABGF,连接BE、CF.
(1)哪两个图形可以通过旋转而相互得到?请指出旋转中心和旋转角.
(2)试探索BE和CF的数量和位置关系?直接写出结果,不必说明理由.

魔方格
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下列四种叙述正确的个数有(  )
①对角线互相平分、相等且垂直的四边形是正方形;②一组邻边相等的矩形是正方形;③对角线相等的菱形是正方形;④一个内角是直角的菱形是正方形.
A.1个B.2个C.3个D.4个
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四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O,能判定它是正方形的是(  )
A.AO=OC,OB=ODB.AO=BO=CO=DO,AC⊥BD
C.AO=OC,OB=OD,AC⊥BDD.AO=OC=OB=OD
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有下列命题,其中真命题有(  )
①四边都相等的四边形是正方形;
②四个内角都相等的四边形是正方形;
③有三个角是直角,且有一组邻边相等的四边形是正方形;
④对角线与一边夹角为45°的四边形是正方形.
A.1个B.2个C.3个D.4个
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已知正方形ABCD对角线AC,BD相交于点O,且AC=16cm,则DO=______cm,BO=______cm,∠OCD=______度.
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