如图，正方形CGEF的对角线CE在正方形ABCD的边BC的延长线上（CG＞BC），M是线段AE的中点，DM的延长线交CE于N．（1）线段AD与NE相等吗？请说明

题型：不详难度：来源：

如图，正方形CGEF的对角线CE在正方形ABCD的边BC的延长线上（CG＞BC），M是线段

AE的中点，DM的延长线交CE于N．
（1）线段AD与NE相等吗？请说明理由；
（2）探究：线段MD、MF的关系，并加以证明．

答案

（1）AD=NE．理由如下：
根据题意，知AD∥BC．
∴∠EAD=∠AEN（内错角相等），
∵∠DMA=∠NME（对顶角相等），
又∵M是线段AE的中点，
∴AM=ME．
∴△ADM≌△ENM（ASA）．
∴AD=NE（对应边相等）．



（2）MD⊥MF，且MD=MF
证明：连接DF，FN，
由CE是正方形的对角线，得到∠DCF=∠NEF=45°，
根据上题可知线段AD=NE，
又∵四边形CGEF是正方形，
∴FC=FE．
在△DCF和△NEF中，

FC=FE ∠DCF=∠NEF=45° DC=NE

，
∴△DCF≌△NEF（SAS）．
∴FD=FN，∠DFC=∠NFE，
∴△FDN是等腰三角形，
又∵∠CFN+∠EFN=90°，
∴∠DFC+∠CFN=90°，即∠DFN=90°，
∴△FDN为等腰直角三角形，
∵在题（1）中已证明△ADM≌△ENM，
∴DM=MN．
∴MD⊥MF．