如图，已知□ABCD，AE平分∠BAD，交DC于E，DF⊥BC于F，交AE于G，且DF=AD． （1）试说明DE=BC；（2）试问AB与DG+FC之间有何数量关

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如图，已知□ABCD，AE平分∠BAD，交DC于E，DF⊥BC于F，交AE于G，且DF=AD．
（1）试说明DE=BC；
（2）试问AB与DG+FC之间有何数量关系？写出你的结论，并说明理由．

答案

解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AB∥DC．
∴∠BAE=∠DEA．
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE=∠DAE．
∴∠DEA=∠DAE．
∴AD=DE．
∴DE=BC．
（2）AB=DG+FC
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=DC，AD=BC，AB∥DC，AD∥BC，
∴∠ABC+∠C=180°
把△DFC沿射线DA方向平移，平移距离为AD，则DC与AB重合，记平移后的三角形为△ABH，则∠AHB=∠DFC=90°，∠ABH=∠C，AH=DF，HB=FC
∵∠ABH+∠ABC=∠C+∠ABC=180°，
∴F，B，H三点共线，
∴BF+HB=BF+FC，
从而FH=BC=AD=DF=AH．
∴四边形AHFD为正方形．
∴∠ADF=90°，AH⊥DF．
把△ADG绕点A顺时针旋转90°，则AD与AH重合，∠DAG=∠HAI，∠DGA=∠HIA，∠AHI=∠ADG=90°，
∴∠AHB+∠AHI=∠AHB+∠ADG=180°，
∴I，H，B三点共线．
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAG=∠DAG，
∴∠HAB+∠BAG=∠HAB+∠DAG=∠HAB+∠HAI．
即∠HAG=∠IAB．
∵AH∥DF，
∴∠HAG=∠DGA，
∴∠BIA=∠DGA=∠BAI．
∴AB=IB．
∴IB=IH+HB=DG+FC，
∴AB=DG+FC．