已知△ABC的两边AB、AC的长是关于x的一元二次方程x2-(2k+3)x+k2+3k+2=0的两个实数根,第三边BC=5.(1)k为何值时,△ABC是以BC为

已知△ABC的两边AB、AC的长是关于x的一元二次方程x2-(2k+3)x+k2+3k+2=0的两个实数根,第三边BC=5.(1)k为何值时,△ABC是以BC为

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已知△ABC的两边AB、AC的长是关于x的一元二次方程x2-(2k+3)x+k2+3k+2=0的两个实数根,第三边BC=5.
(1)k为何值时,△ABC是以BC为斜边的直角三角形?
(2)k为何值时,△ABC是等腰三角形?并求此时△ABC的周长.
答案
(1)根据题意得
[x-(k+1)][x-(k+2)]=0,
解得,x1=k+1,x2=k+2,
若△ABC是直角三角形,且BC是斜边,
那么有(k+1)2+(k+2)2=52
解得k1=2,k2=-5(不合题意舍去),
∴k=2;
(2)①如果AB=AC,△=(2k+3)2-4(k2+3k+2)=0
4k2+12k+9-4k2-12k-8=1≠0,
不可能是等腰三角形.
②如果AB=5,或者AC=5
x1=5,52-(2k+3)×5+k2+3k+2=0
k2-7k+12=0
(k-4)(k-3)=0
k=4或者k=3
k=4时:
x2-11x+30=0
(x-5)(x-6)=0,∴AB=5,AC=6周长L=5+5+6=16
k=3时:
x2-9x+20=0
(x-4)(x-5)=0,∴AB=4,AC=5,周长L=4+5+5=14.
举一反三
已知Rt△ABC的两条直角边的长分别为5cm和12cm,则它斜边上的高长为______cm.
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已知等腰三角形的腰长为10,腰上的高为6,则它的底边长是______.
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在锐角三角形ABC中,高AD=12,边AC=13,BC=14,求AB的长.
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如图所示,是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案,已知大正方形面积为49,小正方形面积为4,若用x,y表示直角三角形的两直角边(x>y),下列四个说法:①x2+y2=49,②x-y=2,③2xy+4=49,④x+y=9.其中说法正确的结论有______.
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斜边长17cm,一条直角边长15cm的直角三角形的面积______.
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