如图,已知在△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,点D是BC上的任意一点,探究:BD2+CD2与AD2的关系,并证明你的结论.

如图,已知在△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,点D是BC上的任意一点,探究:BD2+CD2与AD2的关系,并证明你的结论.

题型:不详难度:来源:
如图,已知在△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,点D是BC上的任意一点,探究:BD2+CD2与AD2的关系,并证明你的结论.
答案
探究得到的关系为:BD2+CD2=2AD2
证明:作AE⊥BC于E,如上图所示:
由题意得:ED=BE-BD=CD-CE,
在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,
∴BE=CE=
1
2
BC,
由勾股定理可得:
AB2+AC2=BC2
∵AE2=AB2-BE2=AC2-CE2,AD2=AE2+ED2
∴2AD2=2AE2+2ED2=AB2-BE2+(BE-BD)2+AC2-CE2+(CD-CE)2
=AB2+AC2+BD2+CD2-2BD×BE-2CD×CE,
=AB2+AC2+BD2+CD2-2×
1
2
BC×BC,
=BD2+CD2
即:BD2+CD2=2AD2
举一反三
如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,BC=6,正方形ABDE的面积为100,则正方形ACFG的面积为______.
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如图,三个正方形围成一个直角三角形,64、400分别为所在正方形的面积,则图中字母M所代表的正方形面积是(  )
A.336B.164096C.464D.155904

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如图,一个长为10米的梯子斜靠在墙上,梯子的顶端距地面的垂直距离为8米,如果梯子的顶端下滑1米,那么梯子的底端的滑动距离(  )
A.等于1米B.大于1米C.小于1米D.不能确定

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如图,△ABC中,有一点P在AC上移动.若AB=AC=5,BC=6,则AP+BP+CP的最小值为(  )
A.8B.8.8C.9.8D.10

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如图,长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=2cm,BC=4cm,AA1=3cm.
(1)若要由顶点A沿长方体表面到顶点B1,试在图中画出最短路线,并说明理由;
(2)若要由顶点A沿长方体表面到顶点C1,试画图表示出最短路线,并说明理由.
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