试题分析:(1)根据圆周角定理求出∠ABE=∠BAE,求出AE=BE,求出∠CAD=∠AFB,求出AE=EF,即可得出答案; (2)根据全等三角形的性质和判定求出BG=CF,AB=AG,即可得出答案; (3)求出,求出AH、CP的长,代入即可求出答案. 试题解析:(1)BE=EF, 理由是:∵BC是直径,AD⊥BC, ∴∠BAC=∠ADC=90°, ∴∠BAD=∠ACB, ∵A为弧BP中点, ∴∠ABP=∠ACB, ∴∠BAD=∠ABP, ∴BE=AE,∠FAD=∠AFB, ∴EF=AE, ∴BE=EF; (2)小李的发现是正确的, 理由是:延长BA、CP,两线交于G, ∵P为半圆弧的中点,A是弧BP的中点, ∴∠PCF=∠GBP,∠CPF=∠BPG=90°,BP=PC, 在△PCF和△PBG中,
∴△PCF≌△PBG(ASA), ∴CF=BG, ∵BC为直径, ∴∠BAC=°, ∵A为弧BP中点, ∴∠GCA=∠BCA, 在△BAC和△GAC中
∴△BAC≌△GAC(ASA), ∴AG=AB=BG, ∴CF=2AB; (3)连接OA交BP于H,
∵A为弧BP的中点, ∴OA⊥BP, ∵∠BPC=90°, ∴OA∥CP, ∴△AHF∽△CPF, ∴, 设OA=r,BC=2r, ∵BP=CP,∠BPC=90°, ∴PC=r, ∴OH=,AH=, ∴=. |