如图,已知正方形ABCD中,BE平分∠DBC且交CD边于点E,将△BCE绕点C顺时针旋转到△DCF的位置,并延长BE交DF于点G.(1)求证:△BDG∽△DEG
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如图,已知正方形ABCD中,BE平分∠DBC且交CD边于点E,将△BCE绕点C顺时针旋转到△DCF的位置,并延长BE交DF于点G.(1)求证:△BDG∽△DEG
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如图,已知正方形ABCD中,BE平分∠DBC且交CD边于点E,将△BCE绕点C顺时针旋转到△DCF的位置,并延长BE交DF于点G.
(1)求证:△BDG∽△DEG;
(2)若EG·BG=4,求BE的长.
答案
(1)见解析 (2)4
解析
(1)证明:∵将△BCE绕点C顺时针旋转到△DCF的位置,∴△BCE≌△DCF,
∴∠FDC=∠EBC,∵BE平分∠DBC,
∴∠DBE=∠EBC,∴∠FDC=∠EBD,
∵∠DGE=∠DGE,∴△BDG∽△DEG.
(2)解:∵△BCE≌△DCF,
∴∠F=∠BEC,∠EBC=∠FDC,
∵四边形ABCD是正方形,
∴∠DCB=90°,∠DBC=∠BDC=45°,
∵BE平分∠DBC,
∴∠DBE=∠EBC=22.5°=∠FDC,
∴∠BDF=45°+22.5°=67.5°,
∠F=90°-22.5°=67.5°=∠BDF,
∴BD=BF,∵△BCE≌△DCF,
∴∠F=∠BEC=67.5°=∠DEG,
∴∠DGB=180°-22.5°-67.5°=90°,
即BG⊥DF,∵BD=BF,∴DF=2DG,
∵△BDG∽△DEG,BG·EG=4,
∴
=
,
∴BG·EG=DG·DG=4,
∴DG=2,∴BE=DF=2DG=4.
举一反三
类比、转化、从特殊到一般等思想方法,在数学学习和研究中经常用到,如下是一个案例,请补充完整,原题:如图1,在平行四边形ABCD中,点E是BC的中点,点F是线段AE上一点,BF的延长线交射线CD于点G.若
=3,求
的值.
(1)尝试探究:
在图1中,过点E作EH∥AB交BG于点H,则AB和EH的数量关系是________,
CG和EH的数量关系是________,
的值是________.
(2)类比延伸:
如图2,在原题条件下,若
=m(m>0)则
的值是________(用含有m的代数式表示),试写出解答过程.
(3)拓展迁移:
如图3,梯形ABCD中,DC∥AB,点E是BC的延长线上的一点,AE和BD相交于点F,若
=a,
=b(a>0,b>0)则
的值是________(用含a、b的代数式表示).
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A.
B.
C.
D.
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A.
B.
C.5
D.6
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(1)若AB=10cm,AC=6cm,则四边形ADFE的周长为
______
cm
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2
,则ΔDEF的周长是
_____
,面积是
_____
题型:不详
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已知:如图正方形ABCD,E是BC的中点,F在AB上,且BF=
,猜想EF与DE的位置关系,并说明理由.
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