解:如图,
∵在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=4cm,BC=3cm. ∴根据勾股定理,得=5cm. (1)以A,P,M为顶点的三角形与△ABC相似,分两种情况: ①当△AMP∽△ABC时,,即, 解得t=; ②当△APM∽△ABC时,,即, 解得t=0(不合题意,舍去); 综上所述,当t=时,以A、P、M为顶点的三角形与△ABC相似; (2)存在某一时刻t,使四边形APNC的面积S有最小值.理由如下: 假设存在某一时刻t,使四边形APNC的面积S有最小值. 如图,过点P作PH⊥BC于点H.则PH∥AC, ∴,即, ∴PH=t, ∴S=S△ABC-S△BPH, =×3×4-×(3-t)•t, =(t-)2+(0<t<2.5). ∵>0, ∴S有最小值. 当t=时,S最小值=. 答:当t=时,四边形APNC的面积S有最小值,其最小值是. |