试题分析:(1)利用矩形的性质可以得到∠A=∠D,利用PE⊥PC可以得到∠APE=∠DCP,从而证明两三角形相似; (2)利用上题证得的三角形相似,列出比例式,进而得到两个变量之间的函数关系; (3)假设存在符合条件的Q点,由于PE⊥PC,且四边形ABCD是矩形,易证得△APE∽△DCP,可得AP•PD=AE•CD,同理可通过△AQE∽△DCQ得到AQ•QD=AE•DC,则AP•PD=AQ•QD,分别用PD、QD表示出AP、AQ,将所得等式进行适当变形即可求得AP、AQ的数量关系. 试题解析:(1)∵四边形ABCD为矩形,∴∠A=∠D=90°,∴∠AEP+∠APE=90°, ∵PE⊥PC,∴∠APE+∠CPD=90°, ∴∠AEP=∠DPC, ∴△PAE∽△CDP; (2)(解法一)∵AP=x,BE=y,∴DP=3-x,AE=2-y. 4分 ∵△PAE∽△CDP,∴, 5分 即,∴. 6分 (解法二)∵AP=x,BE=y,∴DP=3-x,AE=2-y. 4分 ∵∠A=∠D=90°,∴tan∠AEP=, tan∠DPC=, ∵∠AEP=∠DPC,∴tan∠AEP= tan∠DPC. ∴=, 即,∴. (解法三)∵AP=x,BE=y,∴DP=3-x,AE=2-y. 如图1,连结CE, ∵∠A=∠B=∠D="90°,"
∴AE2+AP2=PE2,PD2+CD2=CP2,BE2+BC2=CE2, 又∵∠CPE=90°,∴PE2+CP2=CE2, ∴AE2+AP2+PD2+CD2=BE2+BC2, 即(2-y)2+x2+(3-x)2+22=y2+32,整理得:. ∵=, ∴当时,y有最小值,y的最小值为, 又∵点E在AB上运动(显然点E与点A不重合),且AB=2, ∴<2 综上所述,的取值范围是≤<2; (3)存在,理由如下: 如图2,假设存在这样的点Q,使得QC⊥QE.
由(1)得:△PAE∽△CDP, ∴, ∴, ∵QC⊥QE,∠D=90°, ∴∠AQE+∠DQC=90°,∠DQC+∠DCQ=90°, ∴∠AQE=∠DCQ. 又∵∠A=∠D=90°, ∴△QAE∽△CDQ, ∴, ∴ ∴, 即, ∴, ∴, ∴. ∵AP≠AQ,∴AP+AQ=3.又∵AP≠AQ,∴AP≠,即P不能是AD的中点, ∴当P是AD的中点时,满足条件的Q点不存在, 故当P不是AD的中点时,总存在这样的点Q满足条件,此时AP+AQ=3. 考点: 相似三与性质角形的判定;矩形的性质. |