(已知:如图所示的一张矩形纸片ABCD(AD>AB),将纸片折叠一次,使点A与点C重合,再展开,折痕EF交AD边于点E,交BC边于点F,分别连结AF和CE
题型:不详难度:来源:
(已知:如图所示的一张矩形纸片ABCD(AD>AB),将纸片折叠一次,使点A与点C重合,再展开,折痕EF交AD边于点E,交BC边于点F,分别连结AF和CE。
(1)求证:四边形AFCE是菱形; (2)若AE=10cm,△ABF的面积为24cm2,求△ABF的周长; (3)在线段AC上是否存在一点P,使得2AE2=AC·AP?若存在,请说明点P的位置,并予以证明;若不存在,请说明理由。 |
答案
(1)见解析;(2)24cm;(3)存在,过E作EP⊥AD交AC于P,则P就是所求的点,证明见解析. |
解析
试题分析:(1)由四边形ABCD是矩形与折叠的性质,易证得△AOE≌△COF,即可得AE=CF,则可证得四边形AFCE是平行四边形,又由AC⊥EF,则可证得四边形AFCE是菱形; 由已知可得:S△ABF=AB•BF=24cm2,则可得AB2+BF2=(AB+BF)2-2AB•BF=(AB+BF)2-2×48=AF2=100(cm2),则可求得AB+BF的值,继而求得△ABF的周长. 过E作EP⊥AD交AC于P,则P就是所求的点,首先证明四边形AFCE是菱形,然后根据题干条件证明△AOE∽△AEP,列出关系式. 试题解析: (1)∵四边形ABCD是矩形, ∴AD∥BC,∴∠EAO=∠FCO, 由折叠的性质可得:OA=OC,AC⊥EF, 在△AOE和△COF中, ∵ , ∴△AOE≌△COF(ASA), ∴AE=CF, ∴四边形AFCE是平行四边形, ∵AC⊥EF, ∴四边形AFCE是菱形; (2)∵四边形AFCE是菱形, ∴AF=AE=10cm, ∵四边形ABCD是矩形, ∴∠B=90°, ∴S△ABF=AB•BF=24cm2, ∴AB•BF=48(cm2), ∴AB2+BF2=(AB+BF)2-2AB•BF=(AB+BF)2-2×48=AF2=100(cm2), ∴AB+BF=14(cm) ∴△ABF的周长为:AB+BF+AF=14+10=24(cm). (3)证明:过E作EP⊥AD交AC于P,则P就是所求的点. 当顶点A与C重合时,折痕EF垂直平分AC, ∴OA=OC,∠AOE=∠COF=90°, ∵在平行四边形ABCD中,AD∥BC, ∴∠EAO=∠FCO, ∴△AOE≌△COF, ∴OE=OF ∴四边形AFCE是菱形. ∴∠AOE=90°,又∠EAO=∠EAP, 由作法得∠AEP=90°, ∴△AOE∽△AEP, ∴,则AE2=A0•AP, ∵四边形AFCE是菱形, ∴AO=AC, ∴AE2=AC•AP, ∴2AE2=AC•AP. |
举一反三
已知:正方形ABCD的边长为1,射线AE与射线BC交于点E,射线AF与射线CD交于点F,∠EAF=45°. (1)如图1,当点E在线段BC上时,试猜想线段EF、BE、DF有怎样的数量关系?并证明你的猜想.
(2)设BE=x,DF=y,当点E在线段BC上运动时(不包括点B、C),如图1,求y关于x的函数解析式,并指出x的取值范围. (3)当点E在射线BC上运动时(不含端点B),点F在射线CD上运动.试判断以E为圆心以BE为半径的⊙E和以F为圆心以FD为半径的⊙F之间的位置关系. (4)当点E在BC延长线上时,设AE与CD交于点G,如图2.问⊿EGF与⊿EFA能否相似,若能相似,求出BE的值,若不可能相似,请说明理由.
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如图,在△ACM中,△ABC、△BDE和△DFG都是等边三角形,且点E、G在△ACM边CM上,设等边△ABC、△BDE和△DFG的面积分别为S1、S2、S3,若S1=9,S3=1,则S2= .
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如图,射线AM,BN都垂直于线段AB,点E为AM上一点,过点A作BE的垂线AC分别交BE,BN于点F,C,过点C作AM的垂线CD,垂足为D.若CD=CF,则 .
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已知:在梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=90°,BC=2AD,E是BC的中点,连接AE、AC.
求证:(1)点F是DC上一点,连接EF,交AC于点O(如图1),△AOE∽△COF; (2)若点F是DC的中点,连接BD,交AE与点G(如图2),求证:四边形EFDG是菱形. |
(如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,翻折∠C,使点C落在斜边AB上某一点D处,折痕为EF(点E、F分别在边AC、BC上).
(1)若△CEF与△ABC相似. ①当AC=BC=2时,AD的长为_________; ②当AC=3,BC=4时,AD的长为_________; (2)当点D是AB的中点时,△CEF与△ABC相似吗?请说明理由. |
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