已知:如图,正方形ABCD的边长为a,BM,DN分别平分正方形的两个外角,且满足 ∠MAN=45°,连结MC,NC,MN.(1)填空:与△ABM相似的三角形是△
题型:不详难度:来源:
已知:如图,正方形ABCD的边长为a,BM,DN分别平分正方形的两个外角,且满足 ∠MAN=45°,连结MC,NC,MN.
(1)填空:与△ABM相似的三角形是△ ,BM·DN= ;(用含a的代数式表示) (2)求∠MCN的度数; (3)猜想线段BM,DN和MN之间的数量关系并证明你的结论. |
答案
(1)NDA,a2;(2)135°;(3)BM2+DN2=MN2,证明见解析. |
解析
试题分析:(1)如图(3)由条件可以得出∠BMA=∠3,∠ABM=∠ADN=135°,就可以得出△ABM∽△NDA,利用相似三角形的性质就可以的得出BM•DN=a2;(2)由△ABM∽△NDA,可以得出BM:DA=AB:ND,再由正方形的性质通过等量代换就可以得出△BCM∽△DNC,利用角的关系和圆周角的度数就可以求出结论;(3)将△AND绕点A顺时针旋转90°得到△ABF,连接MF,证明△ABF≌△ADN.利用边角的关系得出△BMF是直角三角形,由勾股定理就可以得出结论. 试题解析:(1)∵四边形ABCD是正方形,∴AB=AD,∠BAD=90°. ∵BM,DN分别平分正方形的两个外角,∴∠CBM=∠CDN="45°." ∴∠ABM=∠ADN=135°. ∵∠MAN=45°,∴∠BMA=∠NAD. ∴△ABM∽△NDA. ∴. ∴BM•DN=a2. (2)由(1)△ABM∽△NDA可得BM:DA=AB:ND. ∵四边形ABCD是正方形,∴AB=DC,DA=BC,∠ABC=∠BCD=∠ADC=∠BAD=90°. ∴BM:BC=DC:ND. ∵BM,DN分别平分正方形ABCD的两个外角,∴∠CBM=∠NDC=45°. ∴△BCM∽△DNC.∴∠BCM=∠DNC. ∴∠MCN=360°-∠BCD-∠BCM-∠DCN=270°-(∠DNC+∠DCN)=270°-(180°-∠CDN)=135°. (3)线段BM,DN和MN之间的等量关系是BM2+DN2=MN2.证明如下: 如图,将△AND绕点A顺时针旋转90°得到△ABF,连接MF.则△ABF≌△ADN. ∴∠1=∠3,AF=AN,BF=DN,∠AFB=∠AND.∴∠MAF=∠1+∠2=∠2+∠3=∠BAD-∠MAN=45°. ∴∠MAF=∠MAN. 又∵AM=AM,∴△AMF≌△AMN.∴MF=MN. 可得∠MBF=(∠AFB+∠1)+45°=(∠AND+∠3)+45°=90°. ∴在Rt△BMF中,BM2+BF2=FM2. ∴BM2+DN2=MN2.
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举一反三
(1)如图1,在△ABC中,点D、E、Q分别在AB、AC、BC上,且DE//BC,AQ交DE于点P,求证:
(2)如图,△ABC中,∠BAC=90°,正方形DEFG的四个顶点在△ABC的边上,连接AG,AF分别交DE于M,N两点. ①如图2,若AB=AC=1,直接写出MN的长; ②如图3,求证:MN=DM·EN |
如图,Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠ABC=60°,BC=2cm,D为BC的中点,若动点E以1cm/s的速度从A点出发,沿着A→B→A的方向运动,设E点的运动时间为t秒(0≤t≤8),连接DE,当△BDE是直角三角形时,t的值为 . |
如图,直角三角形ABC中,∠ACB=90°,AB=10,BC=6,在线段AB上取一点D,作DF⊥AB交AC于点F.现将△ADF沿DF折叠,使点A落在线段DB上,对应点记为;AD的中点E的对应点记为.若∽,则AD=__________.
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如图,在正方形ABCD中,E、F分别是边AD、CD上的点,AE=ED,DF=DC,连结并延长交的延长线于点
(1)求证:△ABE∽△DEF; (2)若正方形的边长为4,求BG的长. |
如图,AB是⊙O的直径, ,AB=5,BD=4,则sin∠ECB= .
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