如图,在矩形ABCD中,点P在边CD上,且与C、D不重合,过点A作AP的垂线与CB的延长线相交于点Q,连接PQ,M为PQ中点.(1)求证:△ADP∽△ABQ;(
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如图,在矩形ABCD中,点P在边CD上,且与C、D不重合,过点A作AP的垂线与CB的延长线相交于点Q,连接PQ,M为PQ中点.(1)求证:△ADP∽△ABQ;(
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如图,在矩形ABCD中,点P在边CD上,且与C、D不重合,过点A作AP的垂线与CB的延长线相交于点Q,连接PQ,M为PQ中点.
(1)求证:△ADP∽△ABQ;
(2)若AD=10,AB=20,点P在边CD上运动,设DP=x,BM
2
=y,求y与x的函数关系式,并求线段BM的最小值;
(3)若AD=10,AB=a,DP=8,随着a的大小的变化,点M的位置也在变化.当点M落在矩形ABCD外部时,求a的取值范围.
答案
解:(1)证明:∵∠QAP=∠BAD=90°,∴∠QAB=∠PAD。
又∵∠ABQ=∠ADP=90°,∴△ADP∽△ABQ。
(2)∵△ADP∽△ABQ,∴
,即
。∴QB=2x。
∵DP=x,CD=AB=20,∴PC=CD﹣DP=20﹣x.
如图,过点M作MN⊥QC于点N,
∵MN⊥QC,CD⊥QC,点M为PQ中点,
∴点N为QC中点,MN为中位线,
∴
,
。
在Rt△BMN中,由勾股定理得
,
∴y与x的函数关系式为:
(0<x<20)。
∵
,
∴当x=8即DP=8时,y取得最小值为45,BM的最小值为
。
(3)设PQ与AB交于点E。
如图,点M落在矩形ABCD外部,须满足的条件是BE>MN。
∵△ADP∽△ABQ,∴
,即
,解得
。
∵AB∥CD,∴△QBE∽△QCP。
∴
,即
,解得
。
∵MN为中位线,∴
。
∵BE>MN,∴
,解得
。
∴当点M落在矩形ABCD外部时,a的取值范围为:
,
解析
(1)由对应两角相等,证明两个三角形相似。
(2)如图所示,过点M作MN⊥QC于点N,由此构造直角三角形BMN,利用勾股定理求出y与x的函数关系式,这是一个二次函数,求出其最小值。
(3)如图所示,当点M落在矩形ABCD外部时,须满足的条件是“BE>MN”.分别求出BE与MN的表达式,列不等式求解,即可求出a的取值范围。
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;
②当AC=3,BC=4时,AD的长为
;
(2)当点D是AB的中点时,△CEF与△ABC相似吗?请说明理由.
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