已知:把和按如图(1)摆放(点与点重合),点、()、在同一条直线上.,,,,.如图(2),从图(1)的位置出发,以的速度沿向匀速移动,在移动的同时,点从的顶点出

已知:把和按如图(1)摆放(点与点重合),点、()、在同一条直线上.,,,,.如图(2),从图(1)的位置出发,以的速度沿向匀速移动,在移动的同时,点从的顶点出

题型:不详难度:来源:
已知:把按如图(1)摆放(点与点重合),点)、在同一条直线上..如图(2),从图(1)的位置出发,以的速度沿匀速移动,在移动的同时,点的顶点出发,以2 cm/s的速度沿向点匀速移动.当的顶点移动到边上时,停止移动,点也随之停止移动.相交于点,连接,设移动时间为

(1)当为何值时,点在线段的垂直平分线上?
(2)连接,设四边形的面积为,求之间的函数关系式;是否存在某一时刻,使面积最小?若存在,求出的最小值;若不存在,说明理由.
(3)是否存在某一时刻,使三点在同一条直线上?若存在,求出此时的值;若不存在,说明理由.(图(3)供同学们做题使用)
答案
(1)2s;(2)3s,cm2;(3)1s
解析

试题分析:(1)根据垂直平分线的性质可得AP=AQ,根据三角形的内角和定理可求的∠EQC=45°,即可证得CE=CQ,由题意知:CE=t,BP=2t,则CQ=t,AQ=8-t,在Rt△ABC中,由勾股定理得:AB=10cm,AP=10-2 t,即可求得结果;
(2)过P作,交BE于M,在Rt△ABC和Rt△BPM中,由,可得PM=,由BC =" 6" cm,CE = t可得BE = 6-t,再根据三角形的面积公式及二次函数的性质求解即可;
(3)假设存在某一时刻t,使点P、Q、F三点在同一条直线上,过P作,交AC于N,证得△PAN ∽△BAC,根据相似三角形的性质可得,由NQ = AQ-AN可得NQ = 8-t-() = .证得△QCF∽△QNP,再根据相似三角形的性质求解即可.
(1)∵点A在线段PQ的垂直平分线上,
∴AP = AQ.
∵∠DEF = 45°,∠ACB = 90°,∠DEF+∠ACB+∠EQC = 180°,
∴∠EQC = 45°.
∴∠DEF =∠EQC. 
∴CE =" CQ."
由题意知:CE = t,BP ="2" t,
∴CQ = t.
∴AQ = 8-t.
在Rt△ABC中,由勾股定理得:AB =" 10" cm,AP = 10-2 t.
∴10-2 t = 8-t.
解得:t = 2.
答:当t =" 2" s时,点A在线段PQ的垂直平分线上;
(2)过P作,交BE于M,

.
在Rt△ABC和Rt△BPM中,
 .  
∴PM = .
∵BC =" 6" cm,CE = t, 
∴BE = 6-t.
∴y=S△ABC-S△BPE====

∴抛物线开口向上.
∴当t = 3时,y最小=
答:当t = 3s时,四边形APEC的面积最小,最小面积为cm2
(3)假设存在某一时刻t,使点P、Q、F三点在同一条直线上.
过P作,交AC于N

.

∴△PAN ∽△BAC.
.
.
.
∵NQ = AQ-AN,
∴NQ = 8-t-() =
∵∠ACB = 90°,B、C(E)、F在同一条直线上,
∴∠QCF = 90°,∠QCF = ∠PNQ.
∵∠FQC = ∠PQN,
∴△QCF∽△QNP .
 . 
 . 
   

解得t=1.
答:当t = 1s,点P、Q、F三点在同一条直线上.
点评:此类问题是初中数学的重点和难点,在中考中极为常见,一般以压轴题形式出现,难度较大.
举一反三
如图1,已知Rt△ABC中,,AC=8cm,BC=6cm.点P由B出发沿BA方向向点A匀速运动,同时点Q由A出发沿AC方向向点C匀速运动,它们的速度均为2cm/s.以AQ、PQ为边作平行四边形AQPD,连接DQ,交AB于点E.设运动的时间为t(单位:s)(0≤t≤4).解答下列问题:

(1)用含有t的代数式表示AE=_____________;
(2)当t为何值时,DQ=AP;
(3)如图2,当t为何值时,平行四边形AQPD为菱形;
(4)直接写出:当DQ的长最小时,t的值.
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如图,矩形ABCD中, AB=4,BC=2,点P是射线DA上的一动点,DE⊥CP,垂足为E,EF⊥BE与射线DC交于点F.

(1)若点P在边DA上(与点D、点A不重合).
①求证:△DEF∽△CEB;
②设AP=x,DF=y,求的函数关系式,并写出的取值范围;
(2)当△EFC与△BEC面积之比为3︰16时,线段AP的长为多少?(直接写出答案,不必说明理由).
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如图,一次函数(m<0)的图象经过定点A,与x轴交于点B,与y轴交于点E,AD⊥y轴于点D,将射线AB沿直线AD翻折,交y轴于点C.

(1)用含m的代数式分别表示点B,点E的坐标;
(2)若△ABC中AC边上的高为5,求m的值;
(3)若点P为线段AC中点,是否存在m的值,使△APD与△ABD相似?若存在,请求出m的值;若不存在,请说明理由.
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如图,P是线段AB的黄金分割点(PB>PA),四边形ABCD、四边形PBEF都是正方形,且面积分别为S1、S2,四边形APMD、四边形APFN都是矩形,且面积分别为S3、S4,下列说法正确的是

A.    B.    C.    D.
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命题“有两个角对应相等的两个三角形相似”的条件是               .
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