试题分析:(1)作CQ⊥x轴,根据正方形的性质可得AB=BC,∠ABC=90°,即有∠CBQ=∠OAB,从而可以证得△AOB≌△BQC,即得CQ=OB,BQ=OA,再结合A(0,3),B(1,0)求解即可; (2)由P是正方形的对称中心可求得点P的坐标,即可得到∠MOB、∠AON的度数,再根据路程、速度、时间的关系表示出OR、OH的长,即可得到RH∥y轴,即R、H的横坐标相同,根据平行线的性质可得∠DMR=∠ANO,若△ANO与△DMR相似,则∠MDR=∠AON=45°或∠DRM=∠AON=45°,从而可以求得结果; (3)①由R速度为,H速度为1,且∠ROH=45°可得tan∠ROH=1,根据RH始终垂直于x轴可得RH=OH=t, 设△HCR的边RH的高为h,再分0<t≤4与t>4两种情况根据三角形的面积公式求解; ②以A、B、C、R为顶点的梯形,有三种可能:Ⅰ.顶边和底边分别为BC、AR,此时BC∥AR;Ⅱ.顶边、底边分别为CR、AB,此时CR∥AB,且R与M重合;Ⅲ.当AC和BR是梯形的底时,根据梯形的性质及一次函数的性质求解即可. (1)作CQ⊥x轴, ∵正方形ABCD, ∴AB=BC,∠ABC=90°, ∴∠CBQ=∠OAB, ∴△AOB≌△BQC, ∴CQ=OB,BQ=OA, ∵A(0,3),B(1,0), ∴BQ=3,CQ=1, ∴OQ=4, ∴C(4,1); (2)∵P是正方形的对称中心,由A(0,3),C(4,1), ∴P(2,2); ∴∠MOB=45°, ∴∠AON=45°, ∵点R从O出发沿OM方向以个单位,每秒速度运动,运动时间为t, ∴OR=t,OH=t. ∴RH∥y轴,即R、H的横坐标相同; ∵AB∥CD, ∴∠DMR=∠ANO, 若△ANO与△DMR相似,则∠MDR=∠AON=45°或∠DRM=∠AON=45°, ①当∠MDR=45°时,R、P重合,∵R(2,2),∴t=2; ②当∠DRM=45°时,DR∥y轴,∵D(3,4),∴R(3,3),∴t=3, ∴当t=2或t=3时,△ANO与△DMR相似; (3)①∵R速度为,H速度为1,且∠ROH=45°, ∴tan∠ROH=1, ∴RH始终垂直于x轴, ∴RH=OH=t, 设△HCR的边RH的高为h, ∴h=|4-t|. ∴S△HCR=h•t=|-t2+4t|, ∴S=-t2+2t(0<t≤4);S=t2-2t(t>4); ②以A、B、C、R为顶点的梯形,有三种可能: Ⅰ.顶边和底边分别为BC、AR,此时BC∥AR. 如图,延长AD,使其与OM相交于点R,
∴AD的斜率=tan∠BAO=, ∴直线AD为:y=+3. ∴R坐标为(4.5,4.5), ∴此时四边形ABCR为梯形, ∴t=4.5.S=; Ⅱ.顶边、底边分别为CR、AB,此时CR∥AB,且R与M重合. ∴CD的斜率=-3,且直线CD过点C, ∴直线CD为:y-1=-3•(x-4) ∴y=-3x+13, ∵OM与CD交于点M(即R), ∴M为(,), ∴此时四边形ABCR为梯形, ∴t=.S= Ⅲ.当AC和BR是梯形的底时,设AC的解析式是y=kx+b, 则,解得, 则解析式是y=-x+4, 设BC的解析式是y=-x+c, 则-1+c=0,解得c=1, 则函数的解析式是y=-x+1, ∴R坐标(,) ∴t=,S=. 点评:此类问题综合性强,难度较大,在中考中比较常见,一般作为压轴题,题目比较典型. |