在△ABC中,∠A=90°,AB=4,AC=3,M是AB上的动点(不与A,B重合),过M点作MN∥BC交AC于点N.以MN为直径作⊙O,并在⊙O内作内接矩形AM
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在△ABC中,∠A=90°,AB=4,AC=3,M是AB上的动点(不与A,B重合),过M点作MN∥BC交AC于点N.以MN为直径作⊙O,并在⊙O内作内接矩形AM
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在△ABC中,∠A=90°,AB=4,AC=3,M是AB上的动点(不与A,B重合),过M点作MN∥BC交AC于点N.以MN为直径作⊙O,并在⊙O内作内接矩形AMPN.令AM=x.
(1)用含x的代数式表示△MNP的面积S;
(2)当x为何值时,⊙O与直线BC相切?
(3)在动点M的运动过程中,记△MNP与梯形BCNM重合的面积为y,试求y关于x的函数表达式.
答案
解:(1)∵MN∥BC,∴∠AMN=∠B,∠ANM=∠C.
∴△AMN ∽△ABC.
∴
,即
.
∴AN=
x.
∴
=
.(0<
<4)
(2)如图2,设直线BC与⊙O相切于点D,连结AO,OD,则AO
="OD" =
MN.
在Rt△ABC中,BC =
=5.
由(1)知 △AMN ∽△ABC.
∴
,即
.
∴
,
∴
.
过M点作MQ⊥BC于Q,则
.
在Rt△BMQ与Rt△BCA中,∠B是公共角,
∴△BMQ∽△BCA.
∴
.
∴
,
.
∴x=
.
∴ 当x=
时,⊙O与直线BC相切.
(3)随点M的运动,当P点落在直线BC上时,连结AP,则O点为AP的中点.
∵MN∥BC,∴∠AMN=∠B,∠AOM=∠APC.
∴△AMO ∽△ABP.
∴
. AM=MB=2.
故以下分两种情况讨论:
① 当0<
≤2时,
.
② 当2<
<4时,设PM,PN分别交BC于E,F.
∵ 四边形AMPN是矩形,
∴PN∥AM,PN=AM=x.
又∵ MN∥BC,
∴ 四边形MBFN是平行四边形.
∴ FN=BM=4-x.
∴
.
又△PEF ∽△ACB.
∴
.
∴
.
=
.
解析
(1)由于三角形PMN和AMN的面积相当,那么可通过求三角形AMN的面积来得出三角形PMN的面积,求三角形AMN的面积可根据三角形AMN和ABC相似,根据相似比的平方等于面积比来得出三角形AMN的面积;
(2)当圆O与BC相切时,O到BC的距离就是MN的一半,那么关键是求出MN的表达式,可根据三角形AMN和三角形ABC相似,得出MN的表达式,也就求出了O到BC的距离的表达式,如果过M作MQ⊥BC于Q,那么MQ就是O到BC的距离,然后在直角三角形BMQ中,用∠B的正弦函数以及BM的表达式表示出MQ,然后让这两表示MQ的含x的表达式相等,即可求出x的值;
(3)要求重合部分的面积首先看P点在三角形ABC内部还是外面,因此可先得出这两种情况的分界线即当P落到BC上时,x的取值,那么P落点BC上时,MN就是三角形ABC的中位线,此时AM=2,因此可分两种情况进行讨论:
①当0<x≤2时,此时重合部分的面积就是三角形PMN的面积,三角形PMN的面积(1)中已经求出,即可的x,y的函数关系式.②当2<x<4时,如果设PM,PN交BC于E,F,那么重合部分就是四边形MEFN,可通过三角形PMN的面积-三角形PEF的面积来求重合部分的面积.不难得出PN=AM=x,而四边形BMNF又是个平行四边形,可得出FN=BM,也就有了FN的表达式,就可以求出PF的表达式,然后参照(1)的方法可求出三角形PEF的面积,即可求出四边形MEFN的面积,也就得出了y,x的函数关系式.
举一反三
已知△ABC与△DEF相似且面积比为4:25,则△ABC与△DEF的相似比为
▲
.
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如图,已知P是线段AB的黄金分割点,且PA>PB.若S
1
表示以PA为一边的正方形的面积,S
2
表示长是AB、宽是PB的矩形的面积,则S
1
▲
S
2
.(填“>”“="”“" <”)
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在菱形ABCD中,E是BC边上的点,连接AE交BD于点F, 若EC=2BE,则
的值是【 】
A.
B.
C.
D.
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如图,在正方形ABCD中,E是BC上的一点,连结AE,作BF⊥AE,垂足为H,交CD于F,作CG∥AE,交BF于G.
求证:(1) CG=BH;(2)FC
2
=BF·GF;(3)
.
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已知
,则
的值是【 】
A.
B.
C.
D.
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