如图,△ABC是等边三角形,点D、E分别在BC、AC上,且BD=CE,AD与BE相交于点F.(1)试说明:△ABD≌△BCE. (2)△AEF与△ABE相似吗
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如图,△ABC是等边三角形,点D、E分别在BC、AC上,且BD=CE,AD与BE相交于点F.(1)试说明:△ABD≌△BCE. (2)△AEF与△ABE相似吗?请说明理由. (3)试说明:BD2=AD·DF. |
答案
证明见解析 |
解析
(1)证明:∵△ABC是等边三角形, ∴AB=BC,∠ABD=∠BCE=∠BAC, 又∵BD=CE, ∴△ABD≌△BCE; (2)答:相似; 理由如下: ∵△ABD≌△BCE, ∴∠BAD=∠CBE, ∴∠BAC-∠BAD=∠CBA-∠CBE, ∴∠EAF=∠EBA,又∵∠AEF=∠BEA, ∴△EAF∽△EBA. (3)BD2=AD•DF; 证明:由△ABD≌△BCE,得∠EBC=∠DAB, 又∵∠ADB=∠BDF, ∴△BDF∽△ADB; ∴BD AD ="DF" BD ,即BD2=AD•DF; (1)根据等边三角形各边长相等和各内角为60°的性质可以求证△ABD≌△BCE; (2)根据全等三角形对应角相等性质可得∠BAD=∠CBE,进而可以求得∠EAF=∠EBA,即可求证△EAF∽△EBA, (3)由(1)的△ACD≌△BAE可得出:∠DAC=∠ABE,再加上公共角∠AEF,可根据两个对应角相等的三角形相似证得. |
举一反三
如图,△ABC中,∠C=90°,AC=3cm,BC=4cm,动点P从点B出发以2cm/s的速度向点C移动,动点Q从C出发以1cm/s的速度向点A移动,如果动点P、Q同时出发,要使△CPQ与△CBA相似,所需要的时间是多少秒? |
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在比例尺为1∶500000的中国地图上,量得江都市与扬州市相距4厘米,那么江都市与扬州市两地的实际相距 千米. |
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