阅读理解:如图1,在直角梯形ABCD中,AB∥CD,∠B=900,点P在BC边上,当∠APD=900时,易证∽,从而得到,解答下列问题.(1)模型探究1:如图2
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阅读理解:如图1,在直角梯形ABCD中,AB∥CD,∠B=900,点P在BC边上,当 ∠APD=900时,易证∽,从而得到,解答下列问题. (1)模型探究1:如图2,在四边形ABCD中,点P在BC边上,当∠B=∠C=∠APD时, 结论仍成立吗? 试说明理由; (2)拓展应用:如图3,M为AB的中点,AE与BD交于点C,∠DME=∠A=∠B=45°且DM交AC于F,ME交BC于G.AB=,AF=3,求FG的长. |
答案
解:(1)∠APC=∠ABP+∠BAP可得:∠BAP=∠CPD 从而说明 △ABP∽△PCD 可得: (2)∵∠AFM=∠DME+∠E=∠A+∠E=∠BMG,∠A=∠B ∴△AMF∽△BGM. 当∠A=∠B=45°时,可得AC⊥BC且AC=BC ∵M为AB的中点,∴AM=BM=, 又∵AMF∽△BGM,∴ ∴ 又∵, ∴ |
解析
(1)本题要通过证△ABP和△PCD相似来解.已知∠B=∠APD=∠C,那么可得出它们的补角都相等,进而可求出∠BAP=∠DPC,∠BPA=∠PDC.由此可证得两三角形相似,即可得出所求的结论. (2)由∠AFM=∠DME+∠E=∠A+∠E=∠BMG,∠A=∠B可得△AMF∽△BGM,再利用直角三角形ABC可得到AM、BM、AC、BC的长,在△AMF∽△BGM中利用对应边成比例可得BG的长,在直角三角形CFG中利用勾股定理即可求得FG的长。 |
举一反三
已知□ABCD的周长为28,自顶点A作AE⊥DC于点E,AF⊥BC于点F. 若AE=3,AF=4,则CE-CF= . |
如图,BD是⊙O的直径, A、C是⊙O上的两点,且AB=AC,AD与BC的延长线交于点E. (1)求证:△ABD∽△AEB; (2)若AD=1,DE=3,求BD的长. |
图是小红设计的钻石形商标,△ABC是边长为2的等边三角形,四边形ACDE是等腰梯形,AC∥ED,∠EAC=60°,AE=1. (1)证明:△ABE≌△CBD; (2)图中存在多对相似三角形,请你找出一对进行证明,并求出其相似比(不添加辅助线,不找全等的相似三角形); (3)小红发现AM=MN=NC,请证明此结论; (4)求线段BD的长. |
在□ABCD中,点E为AD的中点,连接BE,交AC于点F,则( )
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如图,已知AB∥CD,OA:OD=1:4,点M、N分别是OC、OD的中点,则ΔABO与四边形CDNM的面积比为( ).
A.1:4 B.1:8 C.1:12 D.1:16 |
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