如图，边长为4的等边△AOB的顶点O在坐标原点，点A在x轴正半轴上，点B在第一象限.一动点P沿x轴以每秒1个单位长度的速度由点O向点A匀速运动，当点P到达点A时

题型：不详难度：来源：

如图，边长为4的等边△AOB的顶点O在坐标原点，点A在x轴正半轴上，点B在第一象限.一动点P沿x轴以每秒1个单位长度的速度由点O向点A匀速运动，当点P到达点A时停止运动，设点P运动的时间是t秒.在点P的运动过程中，线段BP的中点为点E，将线段PE绕点P按顺时针方向旋转60º得PC.
（1）当点P运动到线段OA的中点时, 点C的坐标为     ；
（2）在点P从点O到点A的运动过程中,用含t的代数式表示点C的坐标；
（3）在点P从点O到点A的运动过程中，求出点C所经过的路径长.

答案

（1） 
（2）过P作PD⊥OB于点D，过C作CFPA于点F
在Rt△OPD中  PD=OP·sin60°= 
∵
∴ 
∵
∴△BPD∽△PCF
∴CF＝，
∴点C的坐标是（）         
（3）取OA的中点M，连结MC，由（2）得,.

∴
∴°.  
∴点C在直线MC上运动.
当点P在点O时，点C与点M重合.
当点P运动到点A时，点C的坐标为
∴点C所经过的路径长为    

解析

（1）当点P运动到线段OA的中点时，BP垂直于OA，根据等边△AOB边长为4即可得到PE的长，线段PE绕点P按顺时针方向旋转60º得PC，通过解直角三角形就能求得点C的坐标；
（2）过P作PD⊥OB于点D，过C作CFPA于点F，通过锐角三角函数关系可以表示出PD，
再得到△BPD∽△PCF，根据对应边成比例可以表示出CF，PF，就可以用含t的代数式表示
点C的坐标；
（3）取OA的中点M，连结MC通过的正切值可求得的度数。点P从点O到点A的运动过程中，点C在直线MC上运动.当点P在点O时，点C与点M重合.当点P运动到点A时，点C的坐标为，所以点C所经过的路径长为。