如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝6，AC＝8，D、E分别是边AB、AC的中点，点P从点D出发沿DE方向运动，过点P作PQ⊥BC于Q，过点Q作QR‖B

题型：不详难度：来源：

如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝6，AC＝8，D、E分别是边AB、AC的中点，点P从点D出发沿DE方向运动，过点P作PQ⊥BC于Q，过点Q作QR‖BA交AC于R，当点Q与点C重合时，点P停止运动．
小题1:求点D到BC的距离DH的长；
小题2:设BQ＝x, QR＝y．
① 求y关于x的函数关系式（0≤x≤10）；
② 是否存在点P，使△PQR为等腰三角形？若存在，求出所有满足要求的x的值；若不存在，请说明理由．

答案

小题1:在Rt△ABC中，∵AB＝6，AC＝8，∴BC＝10. 　　
∵BC边上的高为

，D为AB中点，　　　　　　　

　　　　　
小题1:①∵QR∥AB，△RQC∽△ABC，

.　　　　
　　　　∵BQ＝x，CQ＝10－x,
∴

　　　（i）当QR为底边时，QM＝y＝

，PQ＝DH＝

，
作PM⊥QR于M，则△PQM∽△BCA，

，

＝

.解得x₁＝BQ ＝

.
（ii）当PR为底边时，QR＝PQ＝

，
∵QR∥AB，

，BQ×6＝

×10，解得CQ＝4.
∴　x₂＝BQ＝6.
（iii）当PQ为底边时，点R在PQ的垂直平分线上，点R是CE中点.
∵ QR∥AB，∴

，解得x₃＝BQ＝

.
综上所述，当

为

或6或

时，

为等腰三角形．

解析

小题1:根据三角形相似的判定定理求出△BHD∽△BAC，根据相似三角形的性质求出DH的长；
小题1:①根据△RQC∽△ABC，根据三角形的相似比求出y关于x的函数关系式；
②画出图形，根据图形进行讨论：
① 当PQ=PR时，过点P作PM⊥QR于M，则QM=RM．由于∠1+∠2=90°，∠C+∠2=90°，∴∠1=∠C．
② ∴cos∠1=cosC=