如图,△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,AD⊥BC,垂足是D,AE平分∠BAD,交BC于点E.在△ABC外有一点F,使FA⊥AE,FC⊥BC.(1)求证

如图,△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,AD⊥BC,垂足是D,AE平分∠BAD,交BC于点E.在△ABC外有一点F,使FA⊥AE,FC⊥BC.(1)求证

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如图,△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,AD⊥BC,垂足是D,AE平分∠BAD,交BC于点E.在△ABC外有一点F,使FA⊥AE,FC⊥BC.
(1)求证:BE=CF;
(2)在AB上取一点M,使BM=2DE,连接MC,交AD于点N,连接ME.求证:①ME⊥BC;②DE=DN.

答案
(1)证明见解析;(2)①证明见解析;②证明见解析.
解析

试题分析:(1)通过角的转换和等腰直角三角形的性质,得到∠BAE=∠CAF和∠B=∠FCA,从而ASA证明△ABF≌△ACF,根据全等三角形对应边相等得到结论.
(2)①过E点作EG⊥AB于点G,通过证明EG是BM的垂直平分线就易得出结论.
②通过证明Rt△AMC≌Rt△EMC和△ADE≌△CDN来证明结论.
试题解析:(1)如图,∵∠BAC=90°,FA⊥AE,∴∠1+∠EAC=90°,∠2+∠EAC=90°.
∴∠1=∠2.
又∵AB=AC,∴∠B=∠ACB=45°.
∵FC⊥BC,∴∠FCA=90°-∠ACB=45°.∴∠B=∠FCA.
∴△ABF≌△ACF(ASA).∴BE=CF.
(2)①如图,过E点作EG⊥AB于点G,
∵∠B=45°,∴△CBE是等腰直角三角形.∴BG=EG,∠3=45°.
∵BM=2DE,∴BM=2BG,即点G是BM的中点.∴EG是BM的垂直平分线.∴∠4=∠3=45°.
∴∠MEB=∠4+∠3=90°.∴ME⊥BC.
②∵AD⊥BC,∴ME∥AD.∴∠5=∠6.
∵∠1=∠5,∴∠1=∠6.∴AM=EM.
∵MC=MC,∴Rt△AMC≌Rt△EMC(HL).∴∠7=∠8.
∵∠BAC=90°,,AB=AC,∴∠ACB=45°,∠BAD=∠CAD=45°.
∴∠5=∠7=22.5°,AD=CD.
∵∠ADE=∠CDN=90°,∴△ADE≌△CDN(ASA).∴DE=DN.

举一反三
已知:如图①,在矩形ABCD中,AB=5,AD=,AE⊥BD,垂足是E.点F是点E关于AB的对称点,连接AF、BF.
(1)求AE和BE的长;
(2)若将△ABF沿着射线BD方向平移,设平移的距离为m(平移距离指点B沿BD方向所经过的线段长度).当点F分别平移到线段AB、AD上时,直接写出相应的m的值.
(3)如图②,将△ABF绕点B顺时针旋转一个角(0°<<180°),记旋转中的△ABF为△A′BF′,在旋转过程中,设A′F′所在的直线与直线AD交于点P.与直线BD交于点Q.是否存在这样的P、Q两点,使△DPQ为等腰三角形?若存在,求出此时DQ的长;若不存在,请说明理由.

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已知三角形三边的长分别为4、5、x,则x不可能是( )
A.3B.5C.7D.9

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在等腰直角三角形ABC中,AB=AC=4,点O为BC的中点,以O为圆心作⊙O交BC于点M、N,⊙O与AB、AC相切,切点分别为D、E,则∠MND的度数为   °.

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如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠BAC的平分线AD交BC于点D,CD=2,则点D到AB的距离是   

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如图,在□ABCD中,BC=2AB=4,点E、F分别是BC、AD的中点.
(1)求证:△ABF≌△CDF;
(2)当四边形AECF为菱形时,求□ABCD的面积.

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