如图1,在矩形纸片ABCD中,,其中m≥1,将该矩形沿EF折叠(点E、F分别在边AB、CD上),使点B落在AD边上的点M处,点C落在点N处,MN与CD相交于点P
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如图1,在矩形纸片ABCD中,,其中m≥1,将该矩形沿EF折叠(点E、F分别在边AB、CD上),使点B落在AD边上的点M处,点C落在点N处,MN与CD相交于点P
题型:不详
难度:
来源:
如图1,在矩形纸片ABCD中,
,其中m≥1,将该矩形沿EF折叠(点E、F分别在边AB、CD上),使点B落在AD边上的点M处,点C落在点N处,MN与CD相交于点P,连接EP.设
,其中0<n≤1.
(1)如图2,当
(即M点与D点重合),
时,则
;
(2)如图3,当
(M为AD的中点),m的值发生变化时,求证:
;
(3)如图1,当
,n的值发生变化时,
的值是否发生变化?说明理由.
答案
(1)
;(2)证明见解析;(3)
,不发生变化,理由见解析.
解析
试题分析:(1)由条件可知,当n=1(即M点与D点重合),m=2时,AB=2AD,设AD=a,则AB=2a,由矩形的性质可以得出△ADE≌△NDF,就可以得出AE=NF,DE=DF,在Rt△AED中,由勾股定理就可以表示出AE的值,再求出BE的值就可以得出结论.
(2)延长PM交EA延长线于G,由条件可以得出△PDM≌△GAM,△EMP≌△EMG由全等三角形的性质就可以得出结论.
(3)如图1,连接BM交EF于点Q,过点F作FK⊥AB于点K,交BM于点O,通过证明△ABM∽△KFE,就可以得出
,即
,由AB=2AD=2BC,BK=CF就可以得出
的值是
为定值.
(1)∵四边形ABCD是矩形,∴AB=CD,AD=BC,∠A=∠B=∠C=∠D=90°.
∵AB=mAD,且n=2,∴AB=2AD.
∵∠ADE+∠EDF=90°,∠EDF+∠NDF=90°,∴∠ADE=∠NDF.
在△ADE和△NDF中,∠A=∠N,AD=ND,∠ADE=∠NDF,
∴△ADE≌△NDF(ASA).∴AE=NF,DE=DF.
∵FN=FC,∴AE=FC.
∵AB=CD,∴AB-AE="CD-CF." ∴BE="DF." ∴BE=DE.
Rt△AED中,由勾股定理,得
,即
,∴AE=
AD.
∴BE=2AD-
AD=
.
∴
.
(2)如图3,延长PM交EA延长线于G,∴∠GAM=90°.
∵M为AD的中点,∴AM=DM.
∵四边形ABCD是矩形,∴AB=CD,AD=BC,∠A=∠B=∠C=∠D=90°,AB∥CD.
∴∠GAM=∠PDM.
在△GAM和△PDM中,∠GAM=∠PDM,AM=DM,∠AMG=∠DMP,
∴△GAM≌△PDM(ASA).∴MG=MP.
在△EMP和△EMG中,PM=GM,∠PME=∠GME,ME=ME,
∴△EMP≌△EMG(SAS).∴EG=EP.
∴AG+AE=EP.∴PD+AE=EP,即EP=AE+DP.
(3)
,值不变,理由如下:
如图1,连接BM交EF于点Q,过点F作FK⊥AB于点K,交BM于点O,
∵EM=EB,∠MEF=∠BEF,∴EF⊥MB,即∠FQO=90°.
∵四边形FKBC是矩形,∴KF=BC,FC=KB.
∵∠FKB=90°,∴∠KBO+∠KOB=90°.
∵∠QOF+∠QFO=90°,∠QOF=∠KOB,∴∠KBO=∠OFQ.
∵∠A=∠EKF=90°,∴△ABM∽△KFE.
∴
即
.
∵AB=2AD=2BC,BK=CF,∴
.
∴
的值不变.
举一反三
如图,将一张矩形纸片ABCD沿直线MN折叠,使点C落在点A处,点D落在点E处,直线MN交BC于点M,交AD于点N.
(1)求证:CM=CN;
(2)若△CMN的面积与△CDN的面积比为3:1,且CD=4,求线段MN的长.
题型:不详
难度:
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阅读下面材料:
小炎遇到这样一个问题:如图1,点E、F分别在正方形ABCD的边BC,CD上,∠EAF=45°,连结EF,则EF=BE+DF,试说明理由.
小炎是这样思考的:要想解决这个问题,首先应想办法将这些分散的线段相对集中.她先后尝试了翻折、旋转、平移的方法,最后发现线段AB,AD是共点并且相等的,于是找到解决问题的方法.她的方法是将△ABE绕着点A逆时针旋转90°得到△ADG,再利用全等的知识解决了这个问题(如图2).
参考小炎同学思考问题的方法,解决下列问题:
(1)如图3,四边形ABCD中,AB=AD,∠BAD=90°点E,F分别在边BC,CD上,∠EAF=45°.若∠B,∠D都不是直角,则当∠B与∠D满足
_
关系时,仍有EF=BE+DF;
(2)如图4,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,点D、E均在边BC上,且∠DAE=45°,若BD=1, EC=2,求DE的长.
题型:不详
难度:
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如图,△ABC中,∠ACB=90°,点F在AC延长线上,
,DE是△ABC中位线,如果∠1=30°,DE=2,则四边形AFED的周长是________
题型:不详
难度:
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已知:如图,点E、C、D、A在同一条直线上,AB//DF,ED= AB,∠E=∠CPD.
求证:△ABC≌△DEF.
题型:不详
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在等腰直角△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,
(1)如图1,点D、E分别是AB、AC边的中点,AF⊥BE交BC于点F,连结EF、CD交于点H.求证,EF⊥CD;
(2)如图2,AD=AE,AF⊥BE于点G交BC于点F,过F作FP⊥CD交BE的延长线于点P,试探究线段BP,FP,AF之间的数量关系,并说明理由.
图1 图2
题型:不详
难度:
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