试题分析:(1)先确定A的位置,再作出△AOB,就可以求出AB=2,OB=,在y轴上符合条件的有两点C1和C2,求出即可; (2)根据AP=AO=1,得出P的对称点是O点,求出OC,即可得出OP,解直角三角形求出PQ和OQ即可; (3)作出B关于y轴的对称点,连接PB′即可得出M点的位置,求出PB′长即可. 试题解析:(1)符合条件的有两点,以A为圆心,以AB为半径画弧,交y轴于C1、C2点,
∵A(0,1), ∴OA=1, ∵在Rt△AOB中,OA=1,∠ABO=30°, ∴AB=2OA=2,OB=, 即AC1=AC2=2, ∴OC1=1+2=3,OC2=2-1=2, ∴C的坐标是(0,3)或(0,-1), (2)P的坐标是(, ), 理由是:过P作PQ⊥x轴于Q, ∵OA=1,AP=1,AO⊥x轴, ∴x轴和以A为圆心,以1为半径的圆相切, ∵AP=1, ∴P在圆上, ∵点P关于直线AB的对称点P′在x轴上,AP=1, ∴P′点和O重合,如图:
∵P和P′关于直线AB对称, ∴PP′⊥AB,PC=P′C, 由三角形面积公式得:S△AOB=AO×OB=AB×CO, ∴×1=2OC, ∴OC=, ∴PP′=2OC=, ∵∠ABO=30°,∠OCB=90°, ∴∠POB=60°, ∴PQ=OP×sin60°= ,OQ=OP×cos60°=, 即P的坐标是(,); (3)作B关于y轴的对称点B′,连接PB′交y轴于M,则M为所求,
∵OB=, ∴OB′=, 即BB′=2, ∵PQ=, ∴由勾股定理得:PB′=, ∴PM+BM=PM+B′M=PB′=. 考点: 1.轴对称-最短路线问题;2.坐标与图形性质;3.等腰三角形的性质. |