试题分析:(1)根据线段垂直平分线的性质可知,△ABC的开心点有无数个;(2)连接PA、PB,根据开心点的定义,分①PB=PC,②PA=PC,③PA=PB三种情况利用等边三角形的性质求出PD与AB的关系,然后判断出只有情况③是合适的,再根据等腰直角三角形的性质求出∠APB=45°,然后即可求出∠APB的度数;(3)先根据勾股定理求出AC的长度,根据开心点的定义,分①PB=PC,②PA=PC,③PA=PB三种情况,根据三角形的性质计算即可得解. 试题解析:(1)无数. (2)①若PB=PC,连接PB,则∠PCB=∠PBC, ∵CD为等边三角形的高,∴AD=BD,∠PCB=30°. ∴∠PBD=∠PBC=30°,∴PD= DB= AB.与已知PD= AB矛盾,∴PB≠PC. ②若PA=PC,连接PA,同理可得PA≠PC. ③若PA=PB,由PD= AB,得PD="AD" =BD,∴∠APD=∠BPD="45°." ∴∠APB=90°. (3)∵BC=5,AB=3,∴AC= . ①若PB=PC,设PA= ,则 ,∴ ,即PA= . ②若PA=PC,则PA=2. ③若PA=PB,由图知,在Rt△PAB中,不可能. ∴PA=2或 .
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