如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,点D在边AB上,连接CD,将线段CD绕点C顺时针旋转90°至CE位置,连接AE.(1)求证:AB⊥AE;(2)
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如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,点D在边AB上,连接CD,将线段CD绕点C顺时针旋转90°至CE位置,连接AE.
(1)求证:AB⊥AE; (2)若BC2=AD•AB,求证:四边形ADCE为正方形. |
答案
(1)根据旋转的性质得到∠DCE=90°,CD=CE,利用等角的余角相等得∠BCD=∠ACE,然后根据“SAS”可判断△BCD≌△ACE,则∠B=∠CAE=45°,所以∠DAE=90°,即可得到结论。 (2)由于BC=AC,则AC2=AD•AB,根据相似三角形的判定方法得到△DAC∽△CAB,则∠CDA=∠BCA=90°,可判断四边形ADCE为矩形,利用CD=CE可判断四边形ADCE为正方形。 |
解析
分析:(1)根据旋转的性质得到∠DCE=90°,CD=CE,利用等角的余角相等得∠BCD=∠ACE,然后根据“SAS”可判断△BCD≌△ACE,则∠B=∠CAE=45°,所以∠DAE=90°,即可得到结论。 (2)由于BC=AC,则AC2=AD•AB,根据相似三角形的判定方法得到△DAC∽△CAB,则∠CDA=∠BCA=90°,可判断四边形ADCE为矩形,利用CD=CE可判断四边形ADCE为正方形。 证明:(1)∵∠ACB=90°,AC=BC,∴∠B=∠BAC=45°。 ∵线段CD绕点C顺时针旋转90°至CE位置,∴∠DCE=90°,CD=CE。 ∵∠ACB=90°,∴∠ACB﹣∠ACD=∠DCE﹣∠ACD,即∠BCD=∠ACE。 ∵在△BCD和△ACE中,, ∴△BCD≌△ACE(SAS)。∴∠B=∠CAE=45°。 ∴∠BAE=45°+45°=90°。∴AB⊥AE。 (2)∵BC2=AD•AB,BC=AC,∴AC2=AD•AB。∴。 ∵∠DAC=∠CAB,∴△DAC∽△CAB。∴∠CDA=∠BCA=90°。 ∵∠DAE=90°,∠DCE=90°,∴四边形ADCE为矩形。 ∵CD=CE,∴四边形ADCE为正方形。 |
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