已知△ABC是等边三角形,点D、F分别在边BC、AC上,且DF∥AB,过点A平行于BC的直线与DF的延长线交于点E,连结CE、BF.(1)求证:△ABF≌△AC

已知△ABC是等边三角形,点D、F分别在边BC、AC上,且DF∥AB,过点A平行于BC的直线与DF的延长线交于点E,连结CE、BF.(1)求证:△ABF≌△AC

题型:不详难度:来源:
已知△ABC是等边三角形,点D、F分别在边BC、AC上,且DF∥AB,过点A平行于BC的直线与DF的延长线交于点E,连结CE、BF.

(1)求证:△ABF≌△ACE;
(2)若D是BC的中点,判断△DCE的形状,并说明理由.
答案
(1)根据等边三角形的性质可得AB=AC,∠BAC=∠ACB=60°,再根据平行线的性质可得∠EFA=∠BAC=60°,∠CAE=∠ACB=60°,即可得到△EAF是等边三角形,从而证得结论;(2)直角三角形
解析

试题分析:(1)根据等边三角形的性质可得AB=AC,∠BAC=∠ACB=60°,再根据平行线的性质可得∠EFA=∠BAC=60°,∠CAE=∠ACB=60°,即可得到△EAF是等边三角形,从而证得结论;
(2)连接AD.先根据平行四边形的定义证得四边形ABDE是平行四边形,即得AE=BD,再根据中点的性质可得BD=DC,再结合AE∥DC可得四边形ADCE是平行四边形,再根据等腰三角形的性质证明即可.
(1)∵△ABC是等边三角形,
∴AB=AC,∠BAC=∠ACB=60°.
∵DE∥AB,AE∥BD,
∴∠EFA=∠BAC=60°,∠CAE=∠ACB=60°.
∴△EAF是等边三角形.
∴AF=AE.
在△ABF和△ACE中,
∵AB=AC,∠BAF=∠CAE=60°,AF=AE,
∴△ABF≌△ACE.   
(2)△DCE是直角三角形,∠DCE=90°
理由:连接AD.

∵DE∥AB,AE∥BD,
∴四边形ABDE是平行四边形.
∴AE=BD.
∵D是BC中点,
∴BD=DC.
∴AE=DC.
∵AE∥DC,
∴四边形ADCE是平行四边形.
∵AB=AC,D是BC中点,
∴AD⊥DC.
∴四边形ADCE是矩形.
∴△DCE是直角三角形,∠DCE=90°.
点评:本题知识点较多,综合性较强,是中考常见题,熟练掌握平面图形的基本性质是解题关键.
举一反三
小明在玩一副三角板时发现:含45°角的直角三角板的斜边可与含30°角的直角三角板的较长直角边完全重合(如图①).即△C´DA´的顶点A´、C´分别与△BAC的顶点A、C重合.现在,他让△C´DA´固定不动,将△BAC通过变换使斜边BC经过△C´DA´的直角顶点D.

(1)如图②,将△BAC绕点C按顺时针方向旋转角度α(0°<α<180°),使BC边经过点D,则α=  °.
(2)如图③,将△BAC绕点A按逆时针方向旋转,使BC边经过点D.试说明:BC∥A´C´.
(3)如图④,若AB=,将将△BAC沿射线A´C´方向平移m个单位长度,使BC边经过点D,求m的值.
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已知△ABC中,∠A=40°,如图,剪去∠A后成四边形,则∠1+∠2=    
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如图,在平行四边形ABCD中,EFBC上两点,且BE=CF,AF=DE.

(1)找出图中一对全等的三角形,并证明;
(2)求证:四边形ABCD是矩形.
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如图,为正方形上任一点,于点,在 的延长线上取点,使,连接.

(1)求证:
(2)的平分线交点,连接,求证:
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如图,等边三角形ABC中,D是AB边上的动点,以CD为一边,向上作等边三角形EDC,连结AE.

求证:(1)△ACE≌△BCD;
(2)AE∥BC.
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