如图甲,在中,为锐角,点为射线上一点,连接,以为一边且在的右侧作正方形.解答下列问题:(1)如果,,①当点在线段上时(与点不重合),如图乙,线段之间的位置关系为
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如图甲,在中,为锐角,点为射线上一点,连接,以为一边且在的右侧作正方形.解答下列问题:(1)如果,,①当点在线段上时(与点不重合),如图乙,线段之间的位置关系为
题型:不详
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来源:
如图甲,在
中,
为锐角,点
为射线
上一点,连接
,以
为一边且在
的右侧作正方形
.解答下列问题:
(1)如果
,
,
①当点
在线段
上时(与点
不重合),如图乙,线段
之间的位置关系为
,数量关系为
.
②当点
在线段
的延长线时,如图丙,①中的结论是否仍然成立,为什么?
(2)如果
,
,点
在线段
上运动.试探究:当
满足一个什么条件时,
(点
重合除外)?画出图形,并说明理由.(画图不写作法).
答案
(1)①位置关系:互相垂直;数量关系:BD=CF;②成立;(2)∠ACB=45°
解析
试题分析:(1)当点D在BC的延长线上时①的结论仍成立.由正方形ADEF的性质可推出△DAB≌△FAC,所以CF=BD,∠ACF=∠ABD.结合∠BAC=90°,AB=AC,得到∠BCF=∠ACB+∠ACF=90度.即CF⊥BD.
(2)当∠ACB=45°时,过点A作AG⊥AC交CB或CB的延长线于点G,则∠GAC=90°,可推出∠ACB=∠AGC,所以AC=AG,由(1)①可知CF⊥BD.
(1)线段
之间的位置关系:互相垂直;数量关系:BD=CF;
②∵∠FAD=∠BAC=90°
∴∠BAD=∠CAF
在△BAD与△CAF中,
∴△BAD≌△CAF(SAS)
∴CF=BD,∠ACF=∠ACB=45°,
∴∠BCF=90°
∴CF⊥BD ;
(2)当∠ACB=45°时可得CF⊥BC,理由如下:
过点A作AC的垂线与CB所在直线交于G
则∵∠ACB=45°
∴AG=AC∠AGC=∠ACG=45°
∵AG=AC,AD=AF,
∵∠GAD=∠GAC-∠DAC=90°-∠DAC,∠FAC=∠FAD-∠DAC=90°-∠DAC,
∴∠GAD=∠FAC,
∴△GAD≌△CAF(SAS)
∴∠ACF=∠AGD=45°
∴∠GCF=∠GCA+∠ACF=90°
∴CF⊥BC.
点评:判定两个三角形全等的一般方法有:SSS、SAS、ASA、AAS、HL.判定两个三角形全等,先根据已知条件或求证的结论确定三角形,然后再根据三角形全等的判定方法,看缺什么条件,再去证什么条件.
举一反三
下列各组数中,能作为直角三角形的三边长的是( )
A.4,5,6
B.6,8,10
C.6,8,11
D.5,12,14
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题型:不详
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如图,在△ABC和△DCB中,下面有三个条件,请你以其中两个为题设,第三个作为结论,写出一个正确的命题,并加以证明.
①AB=DC;②AC = DB;③∠ABC=∠DCB.
已知:
求证:
证明:
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如图,已知AB∥CD,猜想图1、图2、图3中∠B,∠BED,∠D之间分别有什么关系?请分别用等式表示出它们的关系,并证明.
题型:不详
难度:
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